10 класс. Геометрия. Многогранники. Решение задач по теме "Призма".

Комментарии преподавателя

1. Тема и цели урока

На данном уроке будет рассмотрена тема «Решение задач по теме “Призма”».

2. Повторение определений

Определение. Прямая призма - это такая призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 1). Ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания (АВС). Значит, призма – прямая. Значит, все боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания и каждая боковая грань – это прямоугольник.

Рис. 1

Определение. Правильной называется такая прямая призма, в основании которой лежит правильный n-угольник. Тогда, мы имеем правильную n-угольную призму.

Рис. 2

3. Повторение площади поверхности призмы

1) Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Sполн = Sбок + 2Sосн

2) Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Sбок = Росн ∙ h

4. Задача 1

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 21см и 9 см и высотой 8 см (рис. 3). Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 10 см.

Рис. 3

Дано: AD ∥ BC, AB = CD,

AD = 21см, BC = 9см, BH = 8 см,

АА1 ⊥ АВС, АА1 = 10 см. (рис. 4)

Найти: Sбок

Рис. 4

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 5). ВН и CG – высоты трапеции. AD = 21см, BC = 9см. Так как трапеция ABСDравнобокая, то HG = BC = 9 см,  (см).

Рис. 5

Рассмотрим треугольник ∆АВН и найдем сторону АВ по теореме Пифагора:

Найдем периметр основания.

Применяем формулу для площади боковой поверхности:

Ответ: 500 см2

5. Задача 2

Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство проведём на примере треугольной призмы.

Рис. 6

Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1. Построим плоскость перпендикулярного сечения. На ребре ВВ1 выберем точку К (рис. 7). Через точку К можно проведем перпендикуляр KL в плоскости этой грани АА1В1В к ребру ВВ1. Этот перпендикуляр будет перпендикуляром и к АА1, так как прямые АА1 и ВВ1 параллельны..

Теперь проведем перпендикуляр КМ перпендикулярно ребру ВВ1 в плоскости грани ВВ1С1С.

Получаем, что боковое ребро ВВ1 перпендикулярно двум пересекающимся прямым KL и КМ плоскости KLM. Значит, ВВ1 - перпендикуляр к плоскости KLM.

То есть, построенное сечение KLM перпендикулярно боковому ребру. Надо доказать, что площадь боковой поверхности равняется произведению периметра перпендикулярного сечения KLM на боковое ребро ВВ1. То есть, имеем следующую задачу.

Рис. 7

Дано: АВСА1В1С1 – наклонная призма,

ВВ1 ⊥ KLM.

Доказать: 

Доказательство:

Любая боковая грань призмы  – это параллелограмм. Рассмотрим грань АВВ1А1. KL – это высота параллелограмма АВВ1А1. Поэтому площадь параллелограмма АВВ1А1 записывается следующим образом:

Аналогично, , .

В призме все боковые ребра равны, АА1 = ВВ1 = СС1. Запишем, чему равна площадь боковой поверхности.

Мы показали, что  . Задача доказана.

6. Задача 3

Основание призмы – правильный треугольник АВС (рис. 8). Боковое ребро АА1 образует равные острые углы со сторонами основания АВ и АС. Докажите, что

a) BC ⊥ AA1;

b) грань ВВ1С1С – прямоугольник.

Рис. 8

Дано: АВСА1В1С1 – призма.

АВ = ВС = АС,

∠А1АВ = ∠А1АС,

∠А1АВ < 90°.

Доказать:

a) BC ⊥ AA1;

b) грань ВВ1С1С – прямоугольник.

Рис. 9

Доказательство:

а) Проведём перпендикуляр А1О к плоскости АВС. Из точки О опустим перпендикуляры ОМ к АВ и OL к АС.

А1О  - перпендикуляр к плоскости АВС. ОМ – проекция наклонной А1М на плоскость АВС. Так как проекция ОМ перпендикулярна прямой АВ из плоскости АВС, то и наклонная А1М перпендикулярна прямой АВ (по теореме о трех перпендикулярах).

ОL – проекция наклонной А1L на плоскость АВС. Так как проекция ОL перпендикулярна прямой АC из плоскости АВС, то и наклонная А1L перпендикулярна прямой АC(по теореме о трех перпендикулярах).

Получаем, что треугольники А1АМ и А1АL – прямоугольные. В этих треугольниках гипотенуза АА1 – общая и углы ∠А1АВ и∠А1АС равны. Значит, треугольники А1АМ и А1АL равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников имеем: АМ = АL и А1М = А1L.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АОМ и АОL.  Гипотенуза АО общая, катеты АМ и АL равны. Из равенства треугольников получаем равенство углов: ∠ОАМ = ∠ОАL.

Так как ∠ОАМ = ∠ОАL, то АО – биссектриса. Треугольник АВС – равносторонний, значит, АО - и биссектриса, и медиана, и высота. То есть прямая ВС из плоскости треугольника АВС перпендикулярна АО, а АО – это проекция наклонной АА1. Значит, прямая ВС и АА1 перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах.

б) Все боковые ребра между собой параллельны. Мы доказали, что прямая ВС перпендикулярна одному боковому ребру, значит прямая ВС перпендикулярна и остальным боковым ребрам, ВС ⊥ ВВ1, ВС ⊥ СС1. А это означает, что параллелограмм ВВ1С1С является прямоугольником, что и требовалось доказать.

7. Задача 4

Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите:

а) диагональ призмы;

б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани;

в) площадь боковой поверхности призмы.

Рис. 10

Дано: ABCD – квадрат,

АВ = а, АА1⊥ АВС.

∠(АС1, АВС) = 45°.

Найти:

а) АС1;

б) ∠(АС1, АD1C1);

в) Sбок

Решение:

а) ABCDA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма. Это означает, что в её основании лежит квадрат АВСD.

Сторона квадрата АВСD  по условию равна а, тогда диагональ АС = а√2.

Угол между диагональю АС1 и плоскостью основания ABC равен 45°. Угол между диагональю АС1 и плоскостью основания ABC – это угол между прямой  АС1  и её проекцией на плоскость ABC, то есть угол С1АС, значит, ∠С1АС = 45°. Так как треугольник С1АС прямоугольный, то и угол АС1С равен 45°. Значит, треугольник С1АС – равнобедренный. Значит, СС1 = АС = а√2.

Из прямоугольного треугольника АС1С находим по теореме Пифагора АС1.

Ответ: 2а.

б) Прямая С1D1 перпендикулярна всей плоскости АDD1. Угол между прямой АС1 и гранью АDD1 - это угол между прямой АС1 и её проекцией АD1 на плоскость АDD1. Значит, искомый угол - ∠С1АD1.

Прямая С1D1 перпендикулярна всей плоскости АDD1, а значит, и прямой АD1. Найдем ∠С1АD1 из прямоугольного треугольника С1АD1.

Значит, ∠С1АD1 = 30°.

Ответ: 30°.

в) Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Ответ: .

8. Итоги урока

Итак, мы повторили теорию и решили некоторые типовые задачи по теме «Призма».  

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/reshenie-zadach-po-teme-prizma

http://www.youtube.com/watch?v=opEtDRec5dE

http://www.youtube.com/watch?v=EZEECvfKh58

http://www.youtube.com/watch?v=jfZ6B4hvkjY

http://www.youtube.com/watch?v=sokjbcuE0lk

https://prezentacii.org/prezentacii/prezentacii-po-matematike/6426-resheniya-zadach-po-teme-prizma.html

http://www.otbet.ru/book/class-10/geometria/uchebnik-glazkov-yu-a-testy-po-geometrii/

Файлы