10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве. Решение задач

Комментарии преподавателя

1. Тема урока

Решение типовых задач на параллельность прямой и плоскости.

2. Задача 1

Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна как плоскости α, так и плоскости β. Докажите, что прямые а и АВ параллельны.

Рис. 1.

Доказательство:

Через точку А проведем прямую АМ, параллельную прямой а (Рис. 1.). Докажем, что прямая АМ совпадает с прямой АВ.

Прямая АМ и а параллельны, а прямая а параллельна плоскости α. Тогда, по утверждению 2, АМ либо параллельна плоскости α, либо лежит в ней, но так как, точка А прямой АМ лежит в плоскости α, то прямая АМ лежит в плоскости α.

Аналогично покажем что, прямая а лежит и в плоскости β. Так как, прямые АВ и а параллельны, а прямая а параллельна плоскости β, то по утверждению 2, АМ либо параллельна плоскости β, либо лежит в ней, но так как, точка А прямой АМ лежит в плоскости β, то прямая АМ лежит в плоскости β.

Имеем, что прямая АМ одновременно лежит и в плоскости α, и в плоскости β, то есть совпадает с линией пересечения плоскостей - прямой АВ. Значит, АВ параллельна а, что и требовалось доказать.

3. Повторение утверждения 2

Ключом к решению данной задачи являлось утверждение 2. Повторим его.

Утверждение 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Пояснение утверждения

Есть две параллельные прямые а и b и плоскость . Одна из параллельных прямых, например, прямая а, параллельна плоскости . Отсюда следует, согласно утверждению, что прямая b либо параллельна плоскости  (Рис. 2.), либо лежит в плоскости  (Рис. 3.).

Рис. 2.                                                Рис. 3.

4. Задача 2

Через две параллельные прямые а и bпроходят плоскости α и β соответственно (Рис. 4.). Доказать, что линия lих пересечения параллельна прямым а и b.

Рис. 4.

Доказательство:

По условию прямая а параллельна прямой b, расположенной в плоскости β. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая а параллельна плоскости β.

Плоскость α проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и пересекает плоскость β по прямой l. Согласно утверждению 1, прямая l параллельна прямой а.

Аналогично, прямая b параллельна прямой а, расположенной в плоскости α. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая b параллельна плоскости α.

Плоскость β проходит через прямую b, параллельную плоскости α, и пересекает плоскость α по прямой l. Согласно утверждению 1, прямая l параллельна прямой b.

Мы доказали, что прямые а и b параллельны прямой l. Задача решена.

5. Задача 3

Докажите, что если данная прямая m параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.

Рис. 5.

Доказательство:

Пусть нам даны плоскости α и β, которые пересекаются по прямой l, прямая m параллельна прямой l и не лежит в плоскостях α и β (Рис. 5.). Докажем, что m параллельна и плоскости α, и плоскости β.

Заметим, что прямая l лежит в плоскости α, а по условию, прямая m параллельна прямой l. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая m параллельна плоскости α.

Аналогично, прямая l лежит в плоскости β, по условию, прямая m параллельна прямой l. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая m параллельна плоскости β.

Итак, прямая m параллельна и плоскости α, и плоскости β, что и требовалось доказать.

6. Задача 4

Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости α, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках M и N (рис. 6.). Докажите, что треугольники АВС и MBN подобны.

Рис. 6.

Доказательство:

Плоскость треугольника АВС проходит через прямую АС, которая параллельна плоскости α и пересекает плоскость α по прямой MN. Значит, прямая АС параллельна MN по утверждению 1.

Рассмотрим треугольники АВС и MBN. Прямая АС параллельна MN, эти прямые пересекает прямая АВ, значит, углы ∠ВАС и ∠ВMN равны как соответственные углы. Угол ∠В – общий для треугольников АВС и MBN. Треугольники АВС и MBN подобны по двум углам, что и требовалось доказать.

7. Повторение утверждения 1

Для решения задачи мы использовали утверждение 1. Повторим его.

Утверждение 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Пояснение утверждения

Дана плоскость  и прямая а, которая параллельна плоскости  (Рис. 7.). Через прямую а можно провести много плоскостей, которые пересекают плоскость . Проведем через прямую а плоскость . Согласно утверждению, линия пересечения плоскостей  и  – прямая b будет параллельна прямой а.

Рис. 7.

8. Итоги урока

Итак, мы рассмотрели четыре задачи на параллельность прямой и плоскости. На следующем уроке будут рассмотрены более сложные задачи по этой теме.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/povtorenie-teorii-reshenie-tipovyh-zadach-na-parallelnost-pryamoy-i-ploskosti?seconds=0&chapter_id=210

http://www.youtube.com/watch?v=kYIGpX6no7g

http://www.youtube.com/watch?v=a71Fo2UZM88

http://www.youtube.com/watch?v=U50WPPL1stY

http://www.youtube.com/watch?v=UhLvBlHkias

http://www.youtube.com/watch?v=rnXL-hOeifI

http://www.online-tusa.com/this/img/80/8099.gif

http://fs16.ru/geometriia/praktika3/zadatcha34.html   

http://5terka.com/classes/10?page=29&sa=X&ved=0CBUQ9QEwAGoVChMIitem_6bxxgIVQxIsCh3M8Ab8

Файлы