10 класс. Геометрия.Повторение теории по темам «Теорема о трех перпендикулярах», «Угол между прямой и плоскостью».
10 класс. Геометрия.Повторение теории по темам «Теорема о трех перпендикулярах», «Угол между прямой и плоскостью».
Комментарии преподавателя
1. Тема урока
На этом уроке мы повторим теорию по темам «Теорема о трех перпендикулярах» и «Угол между прямой и плоскостью».
2. Перпендикуляр, наклонная, проекция, расстояние от точки до плоскости
Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне этой плоскости (рис. 1). Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, .
Рис. 1.
Определение. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α.
Определение. Пусть точка М другая произвольная точка плоскости α. Тогда отрезок АМ называется наклонной, а отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α.
Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. ρ(А; α) = АН.
3. Расстояние между параллельными плоскостями
Рассмотрим параллельные плоскости α и β. На плоскости α выберем произвольную точку А (рис. 2). Из точки А опустим перпендикуляр ААₒ на плоскость β. Перпендикуляр ААₒ и назовем расстоянием между плоскостями α и β.
Рис. 2.
4. Расстояние между прямой и плоскостью
Расстояние между прямой и плоскостью определяется в случаях, когда прямая параллельна плоскости. Тогда все точки прямой а равноудалены от плоскости α. Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АН на плоскость α (рис. 3). Длина перпендикуляра АН и называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.
АН = р(а; α).
Рис. 3.
5. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Пусть прямые а и b скрещиваются (то есть прямые а и b не лежат в одной плоскости). Через прямую а можно провести единственную плоскость, которая будет параллельна прямой b (рис. 4). Точно так же через прямую bможно провести единственную плоскость, которая будет параллельна прямой а.
Рис. 4
Итак, паре скрещивающихся прямых соответствует пара параллельных плоскостей α и β. Расстояние между скрещивающимися прямыми а и b равно расстоянию между параллельными плоскостями α и β.
6. Проекция фигуры на плоскость
Пусть дана точка А, плоскость α, перпендикуляр АН к плоскости α, Н - основание перпендикуляра. Тогда точка Н – это проекция точки А на плоскость α. Таким образом, проекция точки – это основание перпендикуляра.
Рис. 5.
7. Утверждение о проекции прямой на не перпендикулярную к ней плоскость
Проекцией прямой а на не перпендикулярную к ней плоскость α является прямая.
Рассмотрим прямую а и не перпендикулярную ей плоскость α (рис. 6). На прямой а выберем точки А и А1 и опустим с них перпендикуляры АН и А1Н1 на плоскость α. Прямая, проходящая через основания перпендикуляров Н и Н1, назовем ее, и является проекцией прямой а на плоскость α: .
Рис. 6.
8. Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратная теорема
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Пусть прямая а лежит в плоскости α, прямая АН перпендикулярна плоскости α, АМ – наклонная к плоскости α, НМ – проекция наклонной АМ на плоскость α. Проведем прямую через точку М и прямую а, параллельно прямой . Тогда:
Рис. 7.
9. Обсуждение
Рассмотрим плоскость α, в ней лежит прямая а, АМ - наклонная, АН - перпендикуляр, НМ – проекция наклонной АМ (рис. 8). Прямая АМ имеет единственную проекцию НМ на плоскости α, но прямая НМ из плоскости α является проекцией не только для наклонной АМ, но и для наклонной А1М.
Пусть плоскость β образована наклонной АМ и ее проекцией НМ. Можно заключить, что НМ является проекцией любой прямой, не перпендикулярной к плоскости α, которая расположена в плоскости β. То есть, плоскость β проектируется в прямую НМ.
Рис. 8.
10. Угол между прямой и плоскостью
Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Рис. 9.
Рассмотрим плоскость α и прямую a = АМ, АН - перпендикуляр, МН - проекция прямой АМ на плоскость α. Угол между прямой АМ и плоскостью α – это угол между прямой АМ и ее проекцией МН, т.е. угол НМА = φ. Обозн.:
Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 0°. Прямая а параллельна плоскости α (рис. 10), тогда .
Рис. 10.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она проектируется в точку, угол между прямой и плоскостью считается равным 90°. Прямая а перпендикулярна плоскости α (рис. 11), тогда .
Рис. 11.
11. Свойство угла между прямой и плоскостью
Прямая МА проходит через точку А на плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ0 ≠ 90°. Угол φ0 является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку А.
Рис. 12.
12. Задача 1
Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные.
Докажите, что
а) если наклонные равны, то равны и их проекции;
б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные;
в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.
Пусть дана плоскость α, точка А. Из точки А проведены две наклонные АМ и АN и перпендикуляр АН. Тогда МН – это проекция наклонной АМ, НN– проекция наклонной АN на плоскость α.
Рис. 13.
а)
Дано: AM = AN
Доказать: MH = НN
Доказательство:
Рассмотрим треугольники AHM и AHN. Они прямоугольные, так как прямая АН перпендикулярна плоскости α. По условию, AM = AN, а катет АН – общий. Тогда треугольники AHM и AHN равны по общему катету и равным гипотенузам. Из равенства треугольников следует равенство катетов МН и NН, что и требовалось доказать.
б)
Дано: MН = НN
Доказать: MА = АN
Доказательство:
Снова рассмотрим прямоугольные треугольники AHM и AHN. По условию, НM = НN, а катет АН – общий. Тогда треугольники AHM и AHN равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство гипотенузМА и NА, что и требовалось доказать.
Вывод:
в)
Дано: АМ > AN
Доказать: МН > NН
Доказательство: Из условий имеем, что . Тогда
По теореме Пифагора получаем, что , а .Значит, МН² > NН² , МН > NН, что и требовалось доказать.
13. Задача 2
Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.
Дано: ρ (A; α) = 6 см.
КА = КМ
Найти: ρ (К; α).
Рис. 14.
Решение:
Нам дана плоскость α. С точки А опустим перпендикуляр АН на плоскость α. Расстояние от точки А до плоскости α равно длине перпендикуляра АН, значит АН = 6 см. Пусть К – середина отрезка АМ, т.е. МК = АК.
Прямая МА проектируется в прямую МН. Проведем перпендикуляр KL к прямой МН. Так как прямые KL и АН перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.
По теореме Фалеса заключаем, так как отрезки МК и АК равны, то параллельные прямые KL и АН отсекают равные отрезки на другой стороне угла AMH, то есть МL = LH.
KL – это средняя линия треугольника АМН. По свойству средней линии, . KL= 3 см.
Ответ: 3 см.
14. Итоги урока
Итак, мы вспомнили теорию по данным темам. Обсудили важные понятия: расстояние, перпендикуляр, наклонная и другие.
На следующем уроке мы решим задачи по данной теме.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/povtorenie-teorii-po-temam-teorema-o-treh-perpendikulyarah-ugol-mezhdu-pryamoy-i-ploskostyu
https://www.youtube.com/watch?v=daXL5yWm8JE
http://www.youtube.com/watch?v=efGHI7L4IOo
http://www.youtube.com/watch?v=1BJ9GA8gX74
http://www.youtube.com/watch?v=lObK2YS3FOk
http://www.youtube.com/watch?v=bkP3awvh_RA
http://www.youtube.com/watch?v=B8-SnlzkyoY
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/reshenie-zadach-5
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/tipovye-zadachi-na-primenenie-teoremy-o-treh-perpendikulyarah-na-ugol-mezhdu-pryamoy-i-ploskostyu
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/prosteyshie-zadachi-na-primenenie-teoremy-o-treh-perpendikulyarah-na-ugol-mezhdu-pryamoy-i-ploskostyu