10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Двугранный угол.
10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Двугранный угол.
Комментарии преподавателя
Угол на плоскости
Повторим, что такое угол на плоскости и как он измеряется.
Рис. 1. Плоскость
Рассмотрим плоскость α (рис. 1). Из точки О исходят два луча – ОВ и ОА.
Определение. Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом.
Угол измеряется в градусах и в радианах.
Вспомним, что такое радиан.
Рис. 2. Радиан
Если мы имеем центральный угол, длина дуги которого равна радиусу, то такой центральный угол называется углом в 1 радиан. 
, ∠АОВ = 1 рад (рис. 2).
Связь радианов и градусов.
рад.
Получаем, 
рад. (
). Тогда, 
Двугранный угол
Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.
Рис. 3. Полуплоскости
Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 3). Их общая граница – а. Указанная фигура называется двугранным углом.
Терминология
Полуплоскости α и β – это грани двугранного угла.
Прямая а – это ребро двугранного угла.
Измерение двугранного угла
На общем ребре а двугранного угла выберем произвольную точку О (рис. 4). В полуплоскости α из точки О восстановим перпендикуляр ОА к прямой а. Из той же точки О во второй полуплоскости β восставим перпендикуляр ОВ к ребру а. Получили угол АОВ, который называется линейным углом двугранного угла.
– линейный угол двугранного угла.
Рис. 4. Измерение двугранного угла
Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.
Пусть мы имеем двугранный угол (рис. 5). Выберем точку О и точку О1 на прямой а. Построим линейный угол соответствующий точке О, т. е. проведем два перпендикуляра ОА и ОВ в плоскостях α и β соответственно к ребру а. Получаем угол АОВ – линейный угол двугранного угла.
Рис. 5. Иллюстрация доказательства
Из точки О1 проведем два перпендикуляра ОА1 и ОВ1 к ребру а в плоскостях α и β соответственно и получим второй линейный угол А1О1В1.
Лучи О1А1 и ОА сонаправленны, так как они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой как два перпендикуляра к одной и той же прямой а.
Аналогично, лучи О1В1 и ОВ сонаправлены, значит, ∠АОВ = ∠А1О1В1 как углы с сонаправленными сторонами, что и требовалось доказать.
Свойство линейного угла
Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.
Доказать: а ⊥ АОВ.
Рис. 6. Иллюстрация доказательства
Доказательство:
ОА ⊥ а по построению, ОВ ⊥ а по построению (рис. 6).
Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым ОА и ОВ из плоскости АОВ, значит, прямая а перпендикулярна плоскости ОАВ, что и требовалось доказать.
Виды двугранных углов
Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.
- Острый (рис. 6)
Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. 
.
- Прямой (рис. 7)
Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°
- Тупой (рис. 8)
Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. 
.
Рис. 7. Прямой угол Рис. 8. Тупой угол
Примеры построения линейных углов в реальных фигурах
Задача 1
АВСD – тетраэдр.
1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ.
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Построение:
Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ и гранями АВD и АВС (рис. 9).
Проведем прямую DН перпендикулярно плоскости АВС, Н – основание перпендикуляра. Проведем наклонную DМ перпендикулярно прямой АВ,М – основание наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной НМ также перпендикулярна прямой АВ.
То есть, из точки М восстановлены два перпендикуляра к ребру АВ в двух гранях АВD и АВС. Мы получили линейный угол DМН.
Заметим, что АВ, ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости DМН. Задача решена.
Замечание. Двугранный угол можно обозначить следующим образом: DАВС, где
АВ – ребро, а точки D и С лежат в разных гранях угла.
2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС.
Проведем перпендикуляр DН к плоскости АВС и наклонную DN перпендикулярно прямой АС. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что НN – проекция наклонной DN на плоскость АВС, также перпендикулярна прямой АС.DNН – линейный угол двугранного угла с ребром АС.
Задача 2
В тетраэдре DАВС все ребра равны. Точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD, т. е. двугранного угла с ребром АС. Одна его грань – АСD, вторая – АСВ (рис. 10).
Рис. 10. Иллюстрация к задаче
Решение:
Треугольник ADC – равносторонний, DM – медиана, а значит и высота. Значит, DМ ⊥ АС. Аналогично, треугольник AВC – равносторонний, ВM – медиана, а значит, и высота. Значит, ВМ ⊥ АС.
Таким образом, из точки М ребра АС двугранного угла восстановлено два перпендикуляра DM и ВМ к этому ребру в гранях двугранного угла.
Значит, ∠DMВ – линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.
Итоги урока
Итак, мы определили двугранный угол, линейный угол двугранного угла.
На следующем уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых и плоскостей, дальше узнаем что такое двугранный угол при основании фигур.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/dvugrannyy-ugol
http://www.youtube.com/watch?v=SDT10q-h8WM
http://www.youtube.com/watch?v=dkt9TTBVp7E
http://www.youtube.com/watch?v=JU260kjLc80
http://www.youtube.com/watch?v=DSym91reelc
http://1.bp.blogspot.com/-76OwTFrLOCM/T1TRRxf2FaI/AAAAAAAABAI/UIIkDk5TGKo/s1600/Geom_99.jpg
http://dok.opredelim.com/docs/index-49178.html
http://infourok.ru/prezentaciya_po_teme_dvugrannyy_ugol._parallelepiped_dlya_10_klassa.-370205.htm
http://mypresentation.ru/presentation/prezentaciya_po_matematike_quotdvugrannyj_ugolquot__skachat_besplatno