7 класс. Геометрия. Смежные и вертикальные углы.

Смежные и вертикальные углы. 3.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Смежные и вертикальные углы. 3.

Комментарии преподавателя

Понятие «смежные углы», сумма смежных углов

Начнем наш урок с понятия «смежные углы». На рисунке 1 изображен развернутый угол ∠АОС и луч ОВ, который делит данный угол на 2 угла.

Рис. 1. Угол ∠АОС

Рассмотрим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне очевидно, что они имеют общую сторону ВО, а стороны АО и ОС являются противолежащими. Лучи ОА и ОС дополняют друг друга, а значит, они лежат на одной прямой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС являются смежными.

Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными.

Теорема 1: Сумма смежных углов – 180о.

Рис. 2. Чертеж к теореме 1

∠МОL + ∠LON = 180o. Данное утверждение является верным, так как луч OL делит развернутый угол ∠MON на два смежных угла. То есть мы не знаем градусных мер ни одного из смежных углов, а знаем лишь их сумму – 180о.

Вертикальные углы

Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых в точке О.

Рис. 3. Вертикальные углы ∠ВОА и ∠СОD

Определение: Если стороны одного угла являются продолжением второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.

Теорема 2: Вертикальные углы равны.

Используем рисунок 3. Рассмотрим развернутый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС – ∠ВОС = 180о – β. Рассмотрим развернутый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD – ∠BОС = 180о – β.

Из этих соображений мы делаем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Аналогично, ∠AOD = ∠ВОС = β.

Следствия из теорем о смежных и вертикальных углах

Следствие 1: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90о.

Рис. 4. Чертеж к следствию 1

Поскольку ОL – биссектриса угла ∠ВОА, то угол ∠LOB = , аналогично ∠ВОК = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Сумма углов α + β равна 180о, поскольку данные углы – смежные.

Следствие 2: Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180о.

Рис. 5. Чертеж к следствию 2

Очевидно, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o. Сумма углов α + β равна 180о, так как данные углы – смежные.

Задачи

Рассмотрим некоторые задачи:

Пример 1:

Найдите угол, смежный с ∠АOС, если ∠АOС = 111о.

Решение:

Выполним чертеж к задаче:

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Решение

Поскольку ∠АОС = β и ∠СOD = α смежные углы, то α + β = 180о. То есть 111о + β = 180о.

Значит, β = 69о.

Этот тип задач эксплуатирует теорему о сумме смежных углов.

Пример 2:

Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) является другой угол?

Решение:

Если один из углов прямой, а сумма двух углов 180о, то и другой угол тоже прямой. Эта задача проверяет знания о сумме смежных углов.

Пример 3:

Верно ли, что если смежные углы равны, то они прямые?

Решение:

Составим уравнение: α + β = 180о, но поскольку α = β, то β + β = 180о, значит, β = 90о.

Ответ: Да, утверждение верно.

Пример 4:

Даны два равных угла. Верно ли, что и смежные им углы тоже будут равны?

Решение:

Рис. 7. Чертеж к примеру 4

Если два угла равны α, то соответствующие им смежные углы будут 180о – α. То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утверждение верно.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniya/smezhnye-i-vertikalnye-ugly

http://www.youtube.com/watch?v=i787jb_oWzc

http://www.youtube.com/watch?v=hFHoprRwoCE

http://www.youtube.com/watch?v=ZUuItx4QsXY

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=vertikalnie_i_smeznie_ugli

http://istudy.su/wp-content/uploads/2013/01/2_%D0%A1%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%B8-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D1%83%D0%B3%D0%BB%D1%8B-731x1024.jpg

https://www.euroki.net/books/gdzs/1204/585711.png

http://www.uchportal.ru/_ld/339/33950____.rar