7 класс. Геометрия. Признаки параллельности прямых.
7 класс. Геометрия. Признаки параллельности прямых.
Комментарии преподавателя
Понятие «параллельность прямых», его обоснование
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначается это так: 
.
Рис. 1
Отрезки AB и CD, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными.
Лучи, лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.
Задумаемся, неужели а и b нигде не пересекутся? И существуют ли такие прямые? Ведь а и b не ограничены. И в соседней комнате не пересекутся? И на луне?
Оказывается, такие прямые существуют.
Мы доказывали, что перпендикулярная прямая а к прямой с и перпендикулярная прямая b к прямой с нигде не пересекаются (Рис. 2).
Рис. 2
То есть две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся. Оказывается, для этих прямых есть термин.
.
Накрест лежащие углы, односторонние и соответственные углы
Рассмотрим важную геометрическую конструкцию, в которой две прямые а и b рассекаются прямой с (Рис. 3).
Рис. 3
с – секущая а и b. Это означает, что она пересекает и а, и b.
Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
Эти углы называются:
- накрест лежащие углы: 
, 
;
- односторонние углы: 
, ∠3 и ∠6;
- соответственные углы: 
, 
, 
, 
.
– смежные углы.
– вертикальные углы.
Признаки параллельности прямыx
Сформулируем и докажем первый признак параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Итак, даны две прямые а и b. Прямая АВ рассекает эти прямые и 
(Рис. 4).
Рис. 4
Докажем, что 
.
Доказательство:
Рис. 5
Возьмем середину отрезка АВ – точку О – и опустим перпендикуляр ОН на прямую а. Получим точку Н. Получим отрезок АН. Отложим от точки В по прямой b отрезок, равный длине отрезка АН. Получим точку 
, причем 
.
Имеем два треугольника 
и 
. Эти треугольники равны по первому признаку (то есть по двум сторонам и углу между ними):
(по условию), 
(по построению), ОА = ОВ (по построению).
Из равенства треугольников следует, что 
. А значит
– это продолжение ОН, то есть точки О, Н и лежат на одной прямой.
Также 
. Значит, прямая Н перпендикулярна к прямой b.
Итак, мы имеем, что 
, 
. А значит, 
, что и требовалось доказать.
Второй признак параллельности прямых
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая,.
Рис. 6
Доказательство:
Значит, 
.
Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .
Третий признак параллельности прямых
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая,
(Рис. 7).
Рис. 7
Доказательство:
Значит, .
Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .
Решение задач
Признаки параллельности прямых используются для решения разных задач.
Рассмотрим пример:
а, b, с – прямые; с – секущая,
, 
(Рис. 8)
Рис. 8
Сведем к одному из признаков параллельности прямых.
Следовательно,
. По третьему признаку параллельности прямых
.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/parallelnye-pryamye/priznaki-parallelnosti-pryamyh
http://www.youtube.com/watch?v=grAedyzJgT8
http://www.youtube.com/watch?v=F33geKM7sko
http://www.youtube.com/watch?v=nFXlnPOoAoQ
http://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/priznaki-parallelnosti-prjamyh
http://xn-----8kcagmhdbwcfthzc0aadtq7cdj.xn--p1ai/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_7_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D1%85
http://v.5klass.net/zip/80d1b5054053069eb76106ecf9ddbe52.zip
http://3.bp.blogspot.com/-DNMU-0ERlfE/TyWaNQcIkpI/AAAAAAAAAFk/5w50R6jMYGI/s1600/%25D0%25BF%25D1%2580%25D0%25B8%25D0%25B7%25D0%25BD%25D0%25B0%25D0%25BA%25D0%25B8+%25D0%25BF%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8.jpg