7 класс. Геометрия. Параллельные прямые. Свойства параллельных прямых.
7 класс. Геометрия. Параллельные прямые. Свойства параллельных прямых.
Комментарии преподавателя
Аксиома
Определение:
Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются (Рис. 1). Обозначается это так: 
.
Рис. 1
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной(Рис. 2).
Рис. 2
Cледствия из аксиомы
Следствие1:
Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Рис. 3
Дано:
.
Доказать:
.
Доказательство:
Будем доказывать от противного. Предположим, что с не пересекает прямую b(Рис. 4).
Рис. 4
Тогда:
(по условию), 
(по предположению). То есть через точку М проходят две прямые (а и c), параллельные прямой b. А это противоречит аксиоме. Значит, наше предположение неверное. Тогда прямая c пересечет прямую b.
Следствие 2:
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны(Рис. 5).
Рис. 5
Дано:
.
Доказать:
.
Доказательство:
Будем доказывать от противного. Предположим, что прямые a и bпересекаются в некоторой точке М (Рис. 6).
Рис. 6
Таким образом, получаем противоречие с аксиомой: через точку М проходят две прямые, одновременно параллельные третьей прямой.
Следовательно, наше предположение неверно. Тогда 
.
Теоремы о свойствах параллельных прямы
Теорема 1:
Если две прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны(Рис. 7).
Рис. 7
Дано:.
Доказать:
.
Доказательство:
Будем доказывать от противного. Предположим, что: 
.
Тогда от луча MNможно отложить единственный угол ∠PMN, который будет равен ∠2 (Рис. 7). Но тогда ∠PMNи ∠2 – накрест лежащие и равны. Тогда прямые PMи b– параллельны. Тогда через точку М проходят две прямые, параллельные третьей. А именно:
Получаем противоречие с аксиомой. Значит, наше предположение неверно. То есть: 
.
Следствие:
Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.
Рис. 8
Дано:
Доказать:
Доказательство:
1. с пересекает а, а значит, и пересекает параллельную ей прямую, то есть b. Тогда с – секущая по отношению к а и b.
2. 
поскольку они являются накрест лежащими. Тогда 
. То есть
.
Теорема 2:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Рис. 9
Дано:
– секущая.
Доказать: (Рис. 9).
Доказательство:
Если , то из предыдущей теоремы следует, что накрест лежащие углы равны. То есть 
.
Тогда, по свойству вертикальных углов, 
.
Значит, , что и требовалось доказать.
Теорема 3:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Рис. 10
Дано: – секущая.
Доказать:
.
Доказательство:
Из того, что , вытекает, что ∠1 = ∠3, в силу предыдущей теоремы. Но 
по свойству смежных углов. Тогда 
, что и требовалось доказать.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/parallelnye-pryamye/svoystva-parallelnyh-pryamyh
http://www.youtube.com/watch?v=q8-j4QfcpT4
http://www.youtube.com/watch?v=_fJkecAiJY0
http://www.youtube.com/watch?v=risGedETr-8
http://pedsovet.su/_ld/434/43400__7.ppt
http://100ballov.kz/mod/page/view.php?id=499
http://wiki.eduvdom.com/subjects/geometry/%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D1%85