7 класс. Геометрия. Первый признак равенства треугольников.
7 класс. Геометрия. Первый признак равенства треугольников.
Комментарии преподавателя
Повторение понятия «равные треугольники», введение первого признака равенства треугольника
На предыдущем занятии мы ввели понятие «равные треугольники» – треугольники, которые можно совместить наложением. Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников – по некоторым элементам.
Рис. 1. Треугольники АВС и A1B1C1 равны
Докажем теорему: если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны.
Теорема: Дано . Доказать: АВС и .
Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины А и А1, отрезки АВ и А1В1, АС и А1С1 совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то совпадёт с .
Теорема доказана.
Решение задач
Рассмотрим несколько задач.
Пример 1:
Отрезки АС и ВD точкой их пересечения О делятся пополам. Докажите, что .
Доказательство: Выполним пояснительный рисунок.
Рис. 2. Чертеж к примеру 1
Отметим, что углы АОВ и СОD равны, как вертикальные, а стороны ВО и АО треугольника АОВ соответственно равны сторонам OD и ОС треугольника СОD. Поэтому треугольники АОВ и СОD равны по первому признаку.
Пример 2:
Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что .
Решение:
Рис. 3. Чертеж к примеру 2
В предыдущей задаче мы доказали, что по первому признаку. Из этих соображений мы можем сделать вывод, что AB = CD, ∠OAB = ∠OCD.
Теперь рассмотрим треугольники. У них АС – общая сторона, AB=CD, а ∠СAB = ∠АCD (по доказанному). Поэтому по первому признаку равенства. Что и требовалось доказать.
Пример 3:
Рис. 4. Чертеж к примеру 3
На рисунке 3 отрезки АВ и АС равны. Угол 1 равен углу 2. Известно, что АС = 15 см, DC = 5 см. Доказать, что . Найдите длины отрезков BD и АВ.
Треугольники равны по первому признаку, ведь ∠1 = ∠2, АВ = АС, а AD – общая сторона у обоих треугольников. Из равенства треугольников следует равенство некоторых их соответствующих элементов, поэтому: BD = CD = 5 см,
АВ = АС = 15 см.
Ответ: 5 см, 15 см.
Пример 4:
На рисунке 5 ВС = AD. Угол 1 равен углу 2, AD = 17 см, CD = 14 см. Доказать, что . Найдите АВ и ВС.
Решение:
Рис. 5. Чертеж к примеру 4
Треугольник АВС равен треугольнику СDА. по первому признаку. ∠1 = ∠2, СВ = АD, а AC – общая сторона у обоих треугольников. Из этого следует, что , .
Ответ: 14 см, 17 см.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/pervyy-priznak-ravenstva-treugolnikov
http://www.youtube.com/watch?v=Cl7tD7n2Pqg
http://www.youtube.com/watch?v=0drOpQPV5UQ
http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/09/2_Priznaki-ravenstva-treugolnikov.jpg
https://otvet.imgsmail.ru/download/174909691_d1479ecd8d55998f0b9eb3a496ca5cae_800.gif
http://test-training.ru/geometry-7-class/g7-3-1-pervy-priznak-ravenstva-treugolynikov.html