7 класс. Геометрия. Перпендикуляр к прямой.

Комментарии преподавателя

 Повторение перпендикулярности двух прямых

Для на­ча­ла вспом­ним важ­ный факт: две пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пря­мые на­зы­ва­ют­ся пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми, если они об­ра­зу­ют че­ты­ре пря­мых угла.

                                  

Рис. 1. Пер­пен­ди­ку­ляр­ные пря­мые

АС⊥ВD, по­сколь­ку че­ты­ре угла по 90°. На­пом­ним также, что при пе­ре­се­че­нии любых пря­мых об­ра­зу­ют­ся че­ты­ре угла: 2 вер­ти­каль­ных, ко­то­рые равны между собой, еще пара рав­ных вер­ти­каль­ных углов. a и b – смеж­ные углы. И по тео­ре­ме о смеж­ных углах a + b = 180°.

Рис. 2. Пе­ре­се­че­ние пря­мых

В един­ствен­ном слу­чае a = b = 90°. В этом слу­чае пря­мые АС и ВD на­зы­ва­ют­ся пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми.

 Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей

Тео­ре­ма 1: Две пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные к тре­тьей, не пе­ре­се­ка­ют­ся.

         

Рис. 3. Чер­теж к тео­ре­ме 1

От­сю­да сле­ду­ет, что AA1 и BB1 не имеют общих точек. Пря­мые  AA1 и BB1 можно про­длить бес­ко­неч­но, но при этом они не пе­ре­се­кут­ся. В этом за­клю­ча­ет­ся смысл тео­ре­мы.

 Определение перпендикуляра к прямой

Опре­де­ле­ние: Пусть пря­мые АН и a пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Мы знаем, что чтобы все че­ты­ре угла при этих пря­мых были по 90°, необ­хо­ди­мо, чтобы один из них был пря­мым. От­ре­зок АН на­зы­ва­ют пер­пен­ди­ку­ля­ром, про­ве­ден­ным из точки А к пря­мой a, если пря­мые АН и a пер­пен­ди­ку­ляр­ны. При этом точка Н на­зы­ва­ет­ся ос­но­ва­ни­ем пер­пен­ди­ку­ля­ра.

Рис. 4. Чер­теж к опре­де­ле­нию пер­пен­ди­ку­ля­ра

В дан­ном слу­чае пер­пен­ди­ку­ляр – это от­ре­зок. Зна­чит, пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой – это от­ре­зок.

Тео­ре­ма 2: Из точки, не ле­жа­щей на пря­мой, можно про­ве­сти пер­пен­ди­ку­ляр к этой пря­мой, и при­том толь­ко один.

Рис. 5. Чер­теж к тео­ре­ме 2

 Теорема единственности перпендикуляра, проведенного из произвольной точки к заданной прямой

Су­ще­ству­ет мно­же­ство точек, ко­то­рые не лежат на пря­мой a. Из любой точки А, не ле­жа­щей на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой. К тому же этот пер­пен­ди­ку­ляр един­ствен­ный.

Дано: точка А не при­над­ле­жит пря­мой a.

До­ка­зать: су­ще­ству­ет един­ствен­ный от­ре­зок АН, где АН.

До­ка­за­тель­ство:

1. Про­ве­дем 2 рав­ных угла. ∠АВС =∠МВС или ∠1 = ∠2.

2. Рав­ные углы можно сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем. При этом точка А пе­рей­дет в точку A1. ВА = ВA1(пе­ре­ги­ба­ние по пря­мой ВС).

3. Со­еди­ним точки А и A1. По­лу­чим точку Н. Углы ∠ВНА = ∠3, ∠ВНA1 = ∠4.

4.

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ВНА = ВНA1 по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков, то есть по углу и двум при­ле­жа­щим сто­ро­нам. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство всех эле­мен­тов. А зна­чит, ∠3 = ∠4. Эти углы лежат про­тив рав­ных сто­рон. Два смеж­ных равны толь­ко в слу­чае, если каж­дый из них равен по 90°. А зна­чит, АН^ВС. Мы до­ка­за­ли, что из точки А можно про­ве­сти пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой a.

Рис. 6. Чер­теж к до­ка­за­тель­ству тео­ре­мы 2(1)

Един­ствен­ность пер­пен­ди­ку­ля­ра, про­ве­ден­но­го из точки А к пря­мой, до­ка­жем ме­то­дом «от про­тив­но­го».

5. Пред­по­ло­жим, что из точки А можно про­ве­сти к пря­мой a два раз­ных пер­пен­ди­ку­ля­ра.

АН ⊥ a, АH1 ⊥ a.

Рис. 7. Чер­теж к до­ка­за­тель­ству един­ствен­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­ра

Это невоз­мож­но, по­сколь­ку из раз­ных точек пря­мой a про­ве­де­ны 2 пер­пен­ди­ку­ля­ра, ко­то­рые имеют общую точку А. Мы по­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие, зна­чит, наше пред­по­ло­же­ние невер­но. Из точки А можно про­ве­сти лишь один пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой a.

 Решение задач

При­мер 1: Точки А и С лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой a. Пер­пен­ди­ку­ля­ры АВ и СD к пря­мой a равны.

1. До­ка­жи­те, что АВD = ∠CDВ.

2. Най­ди­те ∠АВС, если ∠АDВ = 44°.

Дано: А) АВ⊥ a, CD ⊥ a.

До­ка­зать: ∠ADB = ∠CDB.

До­ка­за­тель­ство:

Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 8. Чер­теж к при­ме­ру 1(а)

До­ка­за­тель­ство ос­но­ва­но на по­ня­тии пер­пен­ди­ку­ля­ра из точки к пря­мой. От­сю­да сле­ду­ет, что ADB = CDB, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Дано: Б) АВ⊥ a, CD⊥ a. AB = CD, ∠ADB = 44°. Найти ∠АВС.

До­ка­за­тель­ство:

Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 9. Чер­теж к при­ме­ру 1(б)

1. ∆ABD = ∆CDB. (AB = CD, BD – общая, ∠ABD = ∠CDB). Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство их со­от­вет­ству­ю­щих эле­мен­тов. AD = CB.

2. ∠ADB = ∠CBD = 44°. По­сколь­ку эти углы лежат про­тив рав­ных сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но.

3. ∠АВС = 90° - 44° = 46°

Ответ: 46°.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/perpendikulyar-k-pryamoy

http://www.youtube.com/watch?v=huzh4ldGB80

http://www.youtube.com/watch?v=TjcMsaY1Ml4

http://школа-пифагора.рф/KIRILL/10/61.jpg

http://fs1301.gavitex.com/get/2424782339/perpendikulyar-k-prjamoy.zip

http://scienceland.info/geometry7/perpendicular

 

Файлы