7 класс. Геометрия. Решение задач на второй и третий признаки равенства треугольников.
7 класс. Геометрия. Решение задач на второй и третий признаки равенства треугольников.
Комментарии преподавателя
Третий признак равенства треугольника
Напоминание:
1. Геометрические фигуры, а в данном случае треугольники, равны, если они совмещаются наложением.
Рис. 1. Напоминание 1
треугольник АВС = треугольнику , поскольку они совмещаются наложением.
2. Совмещающиеся (соответственные) элементы равны
Вспомним формулировку третьего признака равенства треугольников.
Третий признак, как и любой другой признак, гарантирует равенство (совмещение) треугольников. Третий признак – это признак по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 2. Чертеж к третьему признаку равенства треугольников
Отсюда следует, что треугольники АВС и равны по третьему признаку. А это означает равенство всех соответственных углов.
Решение задач
Пример 1:
Дано:АС = ВС, АD = BD, ∠CAD =
Найти:∠CBD.
Решение: Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 3. Чертеж к примеру 1
Значит, треугольники АСD и ВСD равны по третьему признаку равенства треугольников, то есть по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. ∠СВD = ∠САD =
Ответ:
Пример 2:
Дано: АО = ОВ, СО = ОD.
Доказать:треугольник ADC = треугольникуBCD.
Доказательство. Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 4. Чертеж к примеру 2
1. треугольник АОС = треугольнику BOD. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (СО = OD – по условию, АО = ОВ – по условию, ∠АОС = ∠DOB – как вертикальные). Отсюда следует, что АС = BD. Обозначим их за .
2. треугольник ВОС = треугольнику АOD. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (СО = OD – по условию, АО = ОВ – по условию, ∠СОВ = ∠DOА – как вертикальные). Отсюда следует, что ВС = АD. Обозначим их за .
3. .
Отсюда следует, что треугольники ADC и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
Пример 3:
Дано: АВ = CD, AC = BD, ∠BAC =
Найти:∠CDB.
Решение: Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 5. Чертеж к примеру 3
1) треугольник ВАС = треугольнику CDB по третьему признаку равенства треугольников (ВС – общая сторона, АВ = CD – по условию, АС = BD – по условию).
2) ∠CDB = ∠ВАС =. Это следует из равенства треугольников. Оба угла лежат против общей стороны ВС.
Ответ:
Пример 4:
Дано: АВ = ВС = CD = DA.
Доказать:∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 6. Чертеж к примеру 4
1. треугольник АСВ = треугольнику АСD по третьему признаку равенства треугольников (АС – общая сторона, другие стороны равны по условию). Из равенства треугольников имеем равенство соответствующих углов. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.
2. Треугольник АВС – равнобедренный, а значит,∠1 = ∠3. Треугольник АСD – также равнобедренный, ∠2 = ∠4.
3. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/zadachi-na-tretiy-priznak-ravenstva-treugolnikov
http://www.youtube.com/watch?v=ei5hiZvwrbk
http://www.youtube.com/watch?v=rJVHGfMqGkk
http://www.youtube.com/watch?v=u7En5Jollbg
http://www.treugolniki.ru/zadachi-na-tretij-priznak-ravenstva-treugolnikov/
http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=priznaki_ravenstva_treugolnikov
http://oftob.ru/categories/2-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0-6-%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8%D0%BD-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8-%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F