7 класс. Геометрия. Решение задач на второй и третий признаки равенства треугольников.

Комментарии преподавателя

 Третий признак равенства треугольника

На­по­ми­на­ние:

1. Гео­мет­ри­че­ские фи­гу­ры, а в дан­ном слу­чае тре­уголь­ни­ки, равны, если они сов­ме­ща­ют­ся на­ло­же­ни­ем.

Рис. 1. На­по­ми­на­ние 1

тре­уголь­ник АВС = тре­уголь­ни­ку , по­сколь­ку они сов­ме­ща­ют­ся на­ло­же­ни­ем.

2. Сов­ме­ща­ю­щи­е­ся (со­от­вет­ствен­ные) эле­мен­ты равны

Вспом­ним фор­му­ли­ров­ку тре­тье­го при­зна­ка ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков.

Тре­тий при­знак, как и любой дру­гой при­знак, га­ран­ти­ру­ет ра­вен­ство (сов­ме­ще­ние) тре­уголь­ни­ков. Тре­тий при­знак – это при­знак по трем сто­ро­нам. Если три сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны трем сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

Рис. 2. Чер­теж к тре­тье­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков

От­сю­да сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки АВС и равны по тре­тье­му при­зна­ку. А это озна­ча­ет ра­вен­ство всех со­от­вет­ствен­ных углов.

 Решение задач

При­мер 1:

Дано:АС = ВС, АD = BD, ∠CAD =

Найти:∠CBD.

Ре­ше­ние: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 3. Чер­теж к при­ме­ру 1

Зна­чит, тре­уголь­ни­ки АСD и ВСD равны по тре­тье­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков, то есть по трем сто­ро­нам. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих углов. ∠СВD = ∠САD = 

Ответ:

При­мер 2:

Дано: АО = ОВ, СО = ОD.

До­ка­зать:тре­уголь­ник ADC =  тре­уголь­ни­куBCD.

До­ка­за­тель­ство. Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 4. Чер­теж к при­ме­ру 2

1. тре­уголь­ник АОС =  тре­уголь­ни­ку BOD. Эти тре­уголь­ни­ки равны по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков (СО = OD – по усло­вию, АО = ОВ – по усло­вию, ∠АОС = ∠DOB – как вер­ти­каль­ные). От­сю­да сле­ду­ет, что АС = BD. Обо­зна­чим их за .

2. тре­уголь­ник ВОС = тре­уголь­ни­ку АOD. Эти тре­уголь­ни­ки равны по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков (СО = OD – по усло­вию, АО = ОВ – по усло­вию, ∠СОВ = ∠DOА – как вер­ти­каль­ные). От­сю­да сле­ду­ет, что ВС = АD. Обо­зна­чим их за .

3. .

От­сю­да сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки ADC и BCD равны по тре­тье­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ответ: До­ка­за­но.

При­мер 3:

Дано: АВ = CD, AC = BD, ∠BAC = 

Найти:∠CDB.

Ре­ше­ние: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 5. Чер­теж к при­ме­ру 3

1) тре­уголь­ник ВАС = тре­уголь­ни­ку CDB по тре­тье­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков (ВС – общая сто­ро­на, АВ = CD – по усло­вию, АС = BD – по усло­вию).

2) ∠CDB = ∠ВАС =. Это сле­ду­ет из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков. Оба угла лежат про­тив общей сто­ро­ны ВС.

Ответ:

При­мер 4:

Дано: АВ = ВС = CD = DA.

До­ка­зать:∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру 4

1. тре­уголь­ник АСВ = тре­уголь­ни­ку АСD по тре­тье­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков (АС – общая сто­ро­на, дру­гие сто­ро­ны равны по усло­вию). Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков имеем ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих углов. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

2. Тре­уголь­ник АВС – рав­но­бед­рен­ный, а зна­чит,∠1 = ∠3. Тре­уголь­ник АСD – также рав­но­бед­рен­ный, ∠2 = ∠4.

3. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ответ: До­ка­за­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/zadachi-na-tretiy-priznak-ravenstva-treugolnikov

http://www.youtube.com/watch?v=ei5hiZvwrbk

http://www.youtube.com/watch?v=rJVHGfMqGkk

http://www.youtube.com/watch?v=u7En5Jollbg

http://www.treugolniki.ru/zadachi-na-tretij-priznak-ravenstva-treugolnikov/

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=priznaki_ravenstva_treugolnikov

http://oftob.ru/categories/2-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0-6-%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8%D0%BD-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8-%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

Файлы