8 класс. Геометрия. Векторы. Повторение теории. Решение задач с применением векторов.

8 класс. Геометрия. Векторы. Повторение теории. Решение задач с применением векторов.

Комментарии преподавателя

 По­вто­ре­ние тео­рии. За­да­чи

 1. Основные определения

На­пом­ним, что су­ще­ству­ют такие фи­зи­че­ские ве­ли­чи­ны, для ко­то­рых важна не толь­ко ве­ли­чи­на, но и на­прав­ле­ние. Такие ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют­ся век­тор­ны­ми, или век­то­ра­ми, и обо­зна­ча­ют­ся они на­прав­лен­ным от­рез­ком, то есть таким от­рез­ком, у ко­то­ро­го от­ме­че­ны на­ча­ло и конец. Вве­де­но было по­ня­тие кол­ли­не­ар­ных век­то­ров, то есть таких, ко­то­рые лежат либо на одной пря­мой, либо на па­рал­лель­ных пря­мых.

Мы рас­смат­ри­ва­ем век­тор, ко­то­рый можно от­ло­жить от любой точки, за­дан­ный век­тор от про­из­воль­но вы­бран­ной точки можно от­ло­жить един­ствен­ным об­ра­зом.

Было вве­де­но по­ня­тие рав­ных век­то­ров – это такие со­на­прав­лен­ные век­то­ры, длины ко­то­рых равны. Со­на­прав­лен­ны­ми на­зы­ва­ют­ся кол­ли­не­ар­ные век­то­ры, на­прав­лен­ные в одну сто­ро­ну.

Были вве­де­ны пра­ви­ла тре­уголь­ни­ка и па­рал­ле­ло­грам­ма – пра­ви­ла сло­же­ния век­то­ров.

За­да­ны два век­то­ра – век­то­ры  и . Най­дем сумму этих двух век­то­ров . Для этого от­ло­жим из неко­то­рой точки А век­тор  – на­прав­лен­ный от­ре­зок, точка А – его на­ча­ло, а точка В – конец. Из точки В от­ло­жим век­тор . Тогда век­тор  на­зы­ва­ют сум­мой за­дан­ных век­то­ров:  – пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 1).

Рис. 1

За­да­но два век­то­ра – век­то­ры  и . Най­дем сумму этих двух век­то­ров  по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма.

От­кла­ды­ва­ем из точки А век­тор  и век­тор  (см. Рис. 2). На от­ло­жен­ных век­то­рах можно по­стро­ить па­рал­ле­ло­грамм. Из точки В от­кла­ды­ва­ем век­тор , век­то­ры  и  равны, сто­ро­ны ВС и

Рис. 2

АВ1 па­рал­лель­ны. Ана­ло­гич­но па­рал­лель­ны и сто­ро­ны АВ и В1С, таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли па­рал­ле­ло­грамм. АС – диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма. 

 2. Правила сложения векторов

Для сло­же­ния несколь­ких век­то­ров при­ме­ня­ют пра­ви­ло мно­го­уголь­ни­ка (см. Рис. 3). Нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить пер­вый век­тор, из его конца от­ло­жить вто­рой век­тор, из конца вто­ро­го век­то­ра от­ло­жить тре­тий и так далее, когда все век­то­ры от­ло­же­ны – со­еди­нить на­чаль­ную точку с кон­цом по­след­не­го век­то­ра, в итоге по­лу­чит­ся сумма несколь­ких век­то­ров.

Рис. 3

Кроме того, мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие об­рат­но­го век­то­ра – век­то­ра, име­ю­ще­го такую же длину, как за­дан­ный, но ему про­ти­во­на­прав­лен­но­го.

 3. Решение примеров

При­мер 1 – за­да­ча 747: вы­пи­ши­те пары кол­ли­не­ар­ных со­на­прав­лен­ных век­то­ров, ко­то­рые опре­де­ля­ют­ся сто­ро­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма; ука­жи­те про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ные век­то­ры;

Задан па­рал­ле­ло­грамм MNPQ (см. Рис. 4). Вы­пи­шем пары кол­ли­не­ар­ных век­то­ров. В первую оче­редь это век­то­ры  и . Они не толь­ко кол­ли­не­ар­ные, но и рав­ные, т.к. они со­на­прав­ле­ны, и длины их равны по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма (в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны). Сле­ду­ю­щая пара . Ана­ло­гич­но

Рис. 4

вы­пи­шем кол­ли­не­ар­ные век­то­ры вто­рой пары сто­рон: .

Про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ные век­то­ры: .

При­мер 2 – за­да­ча 756: на­чер­ти­те по­пар­но некол­ли­не­ар­ные век­то­ры  и . По­строй­те век­то­ры ;;.

Для вы­пол­не­ния дан­но­го за­да­ния можем поль­зо­вать­ся пра­ви­лом тре­уголь­ни­ка или па­рал­ле­ло­грам­ма.

Спо­соб 1 – с по­мо­щью пра­ви­ла тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 5):

Рис. 5

Спо­соб 2 – с по­мо­щью пра­ви­ла па­рал­ле­ло­грам­ма (см. Рис. 6):

Рис. 6

Ком­мен­та­рий: мы при­ме­ня­ли в пер­вом спо­со­бе пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка – от­кла­ды­ва­ли из про­из­воль­но вы­бран­ной точки А пер­вый век­тор, из его конца – век­тор, про­ти­во­по­лож­ный вто­ро­му, со­еди­ня­ли на­ча­ло пер­во­го с кон­цом вто­ро­го, и таким об­ра­зом по­лу­ча­ли ре­зуль­тат вы­чи­та­ния век­то­ров. Во вто­ром спо­со­бе мы при­ме­ни­ли пра­ви­ло па­рал­ле­ло­грам­ма – по­стро­и­ли на нуж­ных век­то­рах па­рал­ле­ло­грамм и его диа­го­наль – ис­ко­мую раз­ность, помня тот факт, что одна из диа­го­на­лей – это сумма век­то­ров, а вто­рая – раз­ность.

При­мер 3 – за­да­ча 750: до­ка­жи­те, что если век­то­ры  и  равны, то се­ре­ди­ны от­рез­ков AD и BC сов­па­да­ют. До­ка­жи­те об­рат­ное утвер­жде­ние: если се­ре­ди­ны от­рез­ков AD и BC сов­па­да­ют, то век­то­ры  и  равны (см. Рис. 7).

Из ра­вен­ства век­то­ров  и  сле­ду­ет, что пря­мые АВ и CD па­рал­лель­ны, и что от­рез­ки АВ и CD равны. Вспом­ним при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма: если у че­ты­рех­уголь­ни­ка пара про­ти­во­по­лож­ных сто­рон лежит на па­рал­лель­ных пря­мых, и их длины равны, то дан­ный че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 7

Таким об­ра­зом, че­ты­рех­уголь­ник ABCD, по­стро­ен­ный на за­дан­ных век­то­рах, – па­рал­ле­ло­грамм. От­рез­ки AD и BC яв­ля­ют­ся диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма, одно из свойств ко­то­ро­го: диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма пе­ре­се­ка­ют­ся и в точке пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Таким об­ра­зом, до­ка­за­но, что се­ре­ди­ны от­рез­ков AD и BC сов­па­да­ют.

До­ка­жем об­рат­ное утвер­жде­ние. Для этого вос­поль­зу­ем­ся дру­гим при­зна­ком па­рал­ле­ло­грам­ма: если в неко­то­ром че­ты­рех­уголь­ни­ке диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм. От­сю­да че­ты­рех­уголь­ник ABCD – па­рал­ле­ло­грамм, и его про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­лель­ны и равны, таким об­ра­зом, век­то­ры  и  кол­ли­не­ар­ны, оче­вид­но, что они со­на­прав­ле­ны, и мо­ду­ли их равны, от­сю­да век­то­ры  и  равны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

При­мер 4 – за­да­ча 760: до­ка­жи­те, что для любых некол­ли­не­ар­ных век­то­ров  и  спра­вед­ли­во нера­вен­ство  (см. Рис. 8)

От­ло­жим из про­из­воль­ной точки А век­тор , по­лу­чим точку В, из нее от­ло­жим некол­ли­не­ар­ный ему век­тор . По пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма или тре­уголь­ни­ка по­лу­чим сумму век­то­ров  – век­тор . Имеем тре­уголь­ник .

Длина суммы век­то­ров со­от­вет­ству­ет длине сто­ро­ны АС тре­уголь­ни­ка. По нера­вен­ству тре­уголь­ни­ка длина сто­ро­ны АС мень­ше, чем сумма длин двух дру­гих сто­рон АВ и ВС, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Рис. 8

При­ме­не­ние век­то­ров к ре­ше­нию задач

 4. Выражение вектора через два неколлинеарных

На­пом­ним, что мы уже изу­чи­ли неко­то­рые факты о век­то­рах, и те­перь умеем опре­де­лять рав­ные век­то­ры, кол­ли­не­ар­ные век­то­ры, со­на­прав­лен­ные и про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ные. Также мы умеем скла­ды­вать век­то­ры по пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка и па­рал­ле­ло­грам­ма, скла­ды­вать несколь­ко век­то­ров по пра­ви­лу мно­го­уголь­ни­ка, умеем умно­жать век­тор на число. Ре­ше­ние задач с век­то­ра­ми ис­поль­зу­ет все эти зна­ния. Пе­рей­дем к ре­ше­нию неко­то­рых при­ме­ров.

При­мер 1 – за­да­ча 769: от­ре­зок ВВ1 – ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка . Вы­ра­зи­те через век­то­ры  и  век­то­ры  и .

От­ме­тим, что век­то­ры  и  некол­ли­не­ар­ны, то есть пря­мые АВ и АС не па­рал­лель­ны.

В даль­ней­шем мы узна­ем, что любой век­тор может быть вы­ра­жен через два некол­ли­не­ар­ных век­то­ра.

Вы­ра­зим пер­вый век­тор (см. Рис. 1): , т. к. по усло­вию ВВ1 – ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка, зна­чит, век­то­ры  и  имеют рав­ные мо­ду­ли, кроме того, оче­вид­но, что они кол­ли­не­ар­ны и при этом со­на­прав­ле­ны, зна­чит, дан­ные век­то­ра равны.

Рис. 1

Для вы­ра­же­ния сле­ду­ю­ще­го век­то­ра вос­поль­зу­ем­ся пра­ви­лом па­рал­ле­ло­грам­ма для вы­чи­та­ния. Мы пом­ним, что одна из диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на двух век­то­рах, со­от­вет­ству­ет сумме этих век­то­ров, а вто­рая – их раз­но­сти. Диа­го­наль, со­от­вет­ству­ю­щая раз­но­сти век­то­ров, сле­ду­ет от конца к на­ча­лу, таким об­ра­зом, если по­стро­ить на за­дан­ных век­то­рах  и  па­рал­ле­ло­грамм, то его диа­го­наль  будет со­от­вет­ство­вать раз­но­сти .

Век­тор  яв­ля­ет­ся про­ти­во­по­лож­ным к за­дан­но­му век­то­ру , от­сю­да .

Век­тор  ана­ло­гич­но век­то­ру  можно пред­ста­вить в виде раз­но­сти век­то­ров . При вы­ра­же­нии сле­ду­ет учесть тот факт, что точка В1 яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка АС, зна­чит, век­то­ры  и  равны, зна­чит, век­тор  можно пред­ста­вить как удво­ен­ное про­из­ве­де­ние век­то­ра .

Перед ре­ше­ни­ем за­да­чи мы ска­за­ли, что через за­дан­ные два некол­ли­не­ар­ных век­то­ра можно вы­ра­зить любой век­тор. Вы­ра­зим, на­при­мер, ме­ди­а­ну АА1 (см. Рис. 2).

По­лу­чи­ли си­сте­му урав­не­ний, вы­пол­ним их сло­же­ние:

Век­то­ры  в сумме со­став­ля­ют ну­ле­вой век­тор, так как они кол­ли­не­ар­ны и про­ти­во­на­прав­ле­ны, а мо­ду­ли их равны, таким об­ра­зом по­лу­ча­ем:

Рис. 2

По­де­лим обе части урав­не­ния на два, по­лу­чим: 

Из дан­ной за­да­чи можно сде­лать вывод, что если за­да­ны два некол­ли­не­ар­ных век­то­ра, то любой тре­тий век­тор на плос­ко­сти можно од­но­знач­но вы­ра­зить через эти два век­то­ра. Для этого необ­хо­ди­мо при­ме­нить пра­ви­ло сло­же­ния век­то­ров, либо ме­то­дом тре­уголь­ни­ка, либо па­рал­ле­ло­грам­ма, и пра­ви­ло умно­же­ния век­то­ра на число.

 5. Свойство средней линии треугольника

При­мер 2: до­ка­зать с по­мо­щью век­то­ров свой­ство сред­ней линии тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 3).

Задан про­из­воль­ный тре­уголь­ник , точки M и N – се­ре­ди­ны сто­рон АВ и АС со­от­вет­ствен­но, MN – сред­няя линия тре­уголь­ни­ка. Свой­ство сред­ней линии: сред­няя линия па­рал­лель­на ос­но­ва­нию тре­уголь­ни­ка и равна его по­ло­вине.

До­ка­за­тель­ство дан­но­го свой­ства ана­ло­гич­но для тре­уголь­ни­ка и тра­пе­ции.

Рис. 3

Вы­ра­зим век­тор  двумя спо­со­ба­ми:

По­лу­чи­ли си­сте­му урав­не­ний:

          Вы­пол­ним сло­же­ние урав­не­ний си­сте­мы:

Сумма век­то­ров  – это ну­ле­вой век­тор, длины этих век­то­ров равны по усло­вию, кроме того, они оче­вид­но кол­ли­не­ар­ны и про­ти­во­на­прав­ле­ны. Ана­ло­гич­но сум­мой век­то­ров  будет ну­ле­вой век­тор. По­лу­ча­ем:

По­де­лим обе части урав­не­ния на два:

Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли, что сред­няя линия тре­уголь­ни­ка равна по­ло­вине его ос­но­ва­ния. Кроме того, из ра­вен­ства век­то­ра  по­ло­вине век­то­ра  сле­ду­ет, что эти век­то­ры кол­ли­не­ар­ны и со­на­прав­ле­ны, а зна­чит, пря­мые MN и ВС па­рал­лель­ны.

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли свой­ство сред­ней линии тра­пе­ции при по­мо­щи век­то­ров.

 6. Свойство точки пересечения медиан треугольника

При­мер 3: задан про­из­воль­ный тре­уголь­ник  (см. Рис. 4). В нем про­ве­де­ны ме­ди­а­ны АА1, ВВ1, СС1. Точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан – М. Век­тор  со­от­вет­ству­ет силе  – силе  – силе . До­ка­зать, что .

На­пом­ним, что ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке и этой точ­кой де­лят­ся в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны.

Ино­гда точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан на­зы­ва­ют цен­тром тя­же­сти тре­уголь­ни­ка.

Вы­пол­ним сло­же­ние век­то­ров , вос­поль­зу­ем­ся для этого пра­ви­лом па­рал­ле­ло­грам­ма (см. Рис. 5).

Рис. 4

По­лу­ча­ем: 

С дру­гой сто­ро­ны, , так как BMCD – па­рал­ле­ло­грамм, диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, А1 – точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма, зна­чит, от­рез­ки МА1 и А1D равны, от­сю­да, по свой­ству точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, длины век­то­ров  и  равны, но дан­ные век­то­ры про­ти­во­на­прав­ле­ны, а зна­чит, их сумма

Рис. 5

равна ну­ле­во­му век­то­ру. Мы пом­ним, что век­тор , а век­тор , таким об­ра­зом, , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 7. Неравенство треугольника

При­мер 4 – за­да­ча 773: до­ка­жи­те, что для любых век­то­ров  и  спра­вед­ли­во сле­ду­ю­щее нера­вен­ство: 

Ре­ше­ние: пред­ста­вим раз­ность век­то­ров в виде суммы: . Также об­ра­тим вни­ма­ние на тот факт, что длины про­ти­во­на­прав­лен­ных век­то­ров  и  равны: . Таким об­ра­зом, можно пе­ре­пи­сать ис­ход­ное вы­ра­же­ние:

Для удоб­ства вве­дем новую пе­ре­мен­ную:  и пе­ре­пи­шем вы­ра­же­ние:

. А дан­ное нера­вен­ство – нера­вен­ство тре­уголь­ни­ка – было до­ка­за­но в преды­ду­щем уроке. От­ме­тим, что ра­вен­ство на­блю­да­ет­ся в том слу­чае, когда тре­уголь­ник вы­рож­да­ет­ся в от­ре­зок.

Итак, мы вспом­ни­ли все ос­нов­ные опре­де­ле­ния и свой­ства век­то­ров, вспом­ни­ли ос­нов­ные опе­ра­ции над век­то­ра­ми, рас­смот­ре­ли при­ме­не­ние век­то­ров при ре­ше­нии раз­лич­ных задач, до­ка­за­ли неко­то­рые свой­ства фигур и ре­ши­ли наи­бо­лее рас­про­стра­нен­ные типы задач.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/vektory-povtorenie-teorii-zadachi

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/primenenie-vektorov-k-resheniyu-zadach

http://www.youtube.com/watch?v=KYaz65dkg2c

http://www.youtube.com/watch?v=ICwchGItv_A

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/8-itogovyj-test-po-teme-vektory-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/9-itogovyj-test-po-teme-vektory-variant-2.html

http://uslide.ru/images/22/28455/960/img5.jpg

http://www.studfiles.ru/html/2706/538/html_OqWQ3sDQeV.5bGa/htmlconvd-WBhq8w_html_73af1ab4.png

http://uchkollektor39.ru/uploads/images/items/29cc1d8d90989d9f0e3df70c3d95a9ee.jpg

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

http://matssir.ucoz.ru/_ld/0/33_G8p84-85.pptx

http://nsportal.ru/sites/default/files/2014/05/11/vektory._dokazatelstvo.pptx

http://v.5klass.net/zip/b66d124d0243f848a0bf454b75404034.zip

Файлы