8 класс. Геометрия. Взаимное расположение точки и окружности. Обобщение. Решение задач.
8 класс. Геометрия. Взаимное расположение точки и окружности. Обобщение. Решение задач.
Комментарии преподавателя
Повторение темы «Окружность». Решение задач
1. Геометрическая конструкция «точка на окружности»
Рассмотрим важную теорему о вписанном угле.
Определение
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.
Теорема
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 1).
; 
Рис. 1
Важные следствия из данной теоремы:
Следствие 1:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 2).
Угол 
равен 
, он вписанный и опирается на дугу 
, значит, дуга равна 
. Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы 
и 
, данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол.
Таким образом, получаем:
Рис. 2
Следствие 2:
Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 3).
Рис. 3
Из точки А на окружности выходят хорда и касательная. ےМАВ – угол между касательной и хордой. Данный угол обладает важным свойством.
Свойство
Угол ےМАВ между касательной МА и хордой АВ измеряется половиной отсекаемой дуги 
(см. Рис. 4).
Обозначим угол ےМАВ за . У нас задана касательная к окружности МА, ОА – радиус, проведенный в точку касания. Отсюда ОА⊥МА. В таком случае ےОАМ = 90°. Отсюда угол 
.
Треугольник 
равнобедренный, т.к. у него 
как радиусы окружности. Отсюда равенство углов при основании АВ: 
.
Сумма трех углов треугольника составляет 180°. Отсюда найдем угол ےАОВ:
Таким образом, 
, что и требовалось доказать
Рис. 4
Следствие:
На дугу опираются вписанные углы ےА1, ےА2 и т.д., они измеряются половиной градусной меры дуги, на которую они опираются, отсюда они все равны углу ےМАВ между касательной и хордой.
Мы рассмотрели свойства простой, но очень важной геометрической конструкции – точки на окружности. Эта конструкция описывается теоремой о вписанном угле и свойством угла между касательной и хордой. И та, и другая теорема широко используются при решении различных задач.
2. Геометрическая конструкция «точка вне окружности»
Рассмотрим следующую важную геометрическую конструкцию – окружность и точка вне окружности.
Теорема
Произведение секущей на внешнюю ее часть есть величина постоянная, равная квадрату касательной (см. Рис. 5).
Задана окружность с центром О, точка М лежит вне окружности. Касательная МА, секущие МС (внешняя часть МВ) и ML (внешняя часть МК).
Доказать: 
Рис. 5
Доказательство:
Выберем произвольную секущую, например, МС, и докажем теорему для нее, этого будет достаточно. Доказательство основано на подобии треугольников. 
. Они имеют общую вершину М, угол ے
входит в оба треугольника. Угол ےМАВ – угол между касательной и хордой, пусть он равен , тогда любой угол, опирающийся на ту же дугу – на дугу АВ, равен . Отсюда угол 
. Значит, треугольники подобны по двум углам. Осталось выписать отношение подобия:
Воспользуемся свойством пропорции:
, что и требовалось доказать.
Следующее важное свойство изучаемой конструкции касается внешнего угла (см. Рис. 6).
Задана окружность, точка М лежит вне окружности. Две секущие – МС и ML. Угол ےМ – внешний угол. Он опирается на две дуги: дуга 
, пусть ее градусная мера n°, тогда соответствующий центральный угол ےВСК имеет градусную меру 
; дуга 
, пусть ее градусная мера m°, угол 
.
Доказать: 
Рис. 6
Доказательство:
Рассмотрим треугольник 
. В нем 
; . Для треугольника угол ےСКL – внешний угол, значит, он равен сумме двух углов треугольника, несмежных с ним:
Выразим угол ےМ:
Таким образом, мы доказали, что внешний угол треугольника измеряется полуразностью дуг, на которые он опирается.
3. Геометрическая конструкция «точка внутри окружности»
Еще одна геометрическая конструкция – точка внутри окружности.
Теорема
Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная для данной точки (см. Рис. 7).
Доказать, что 
Доказательство:
Рассмотрим треугольники 
и 
. Данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углы 
и 
; вписанные углы и 
опираются на одну и ту же дугу . Выпишем соотношение подобия:
Рис. 7
Применим свойство пропорции и преобразуем выражение:
, что и требовалось доказать.
Следующее свойство касается внутреннего угла.
Свойство
Внутренний угол измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается (см. Рис. 8).
Задана окружность с центром О. Хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М. Внутренний угол ےАМD обозначим за .
Доказать: 
Рис. 8
Доказательство:
Рассмотрим треугольник . В нем вписанный угол ےА опирается на дугу , ее градусную меру мы обозначили как 
, отсюда 
; вписанный угол ےС опирается на дугу AD градусной мерой 
, отсюда угол 
. Угол – внешний угол для данного треугольника, он равен сумме двух углов, несмежных с ним:
4. Решение задачи
Мы доказали, что внутренний угол измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается.
Задача
Задан равнобедренный треугольник, 
, 
. Найти радиус описанной окружности.
Треугольник 
полностью задан, мы можем найти в нем любые элементы, но задано найти только радиус описанной окружности.
Рис. 9
Решение:
Мы помним, что центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. АН – медиана, биссектриса и высота – первый серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к АВ – ОМ, точка пересечения серединных перпендикуляров – точка О – центр описанной окружности. Таким образом, нужно найти расстояние от точки О до любой вершины – например, ОВ или ОА, это и будет радиус описанной окружности.
По теореме Пифагора найдем АН:
, 
, 
Рассмотрим треугольник 
: в нем ОВ – радиус описанной окружности, 
, 
. Применим теорему Пифагора:
Упростим составленное выражение:
5. Выводы по уроку
Итак, мы закончили изучение темы «Окружность» и повторили все основные факты.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/vzaimnoe-raspolozhenie-tochki-i-okruzhnosti-obobschenie-reshenie-zadach
http://www.youtube.com/watch?v=29f6Huhk_Kk
http://www.youtube.com/watch?v=WsitAY-d33E
http://www.youtube.com/watch?v=lX-rN8JTlYQ
http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/114-test-po-geometrii-8-klass-tema-chetyre-zamechatelnye-tochki-okruzhnosti-variant-1.html
http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/115-test-po-geometrii-8-klass-tema-chetyre-zamechatelnye-tochki-okruzhnosti-variant-2.html
http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/120-teoreticheskij-test-po-geometrii-8-klass-tema-okruzhnost.html
http://v.5klass.net/zip/b0e55c84942e47c7877236b95f7e5926.zip
http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg
http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw