8 класс. Геометрия. Окружность. Центральный угол. Градусная мера дуги окружности.

Комментарии преподавателя

 Основные определения

На­пом­ним опре­де­ле­ние окруж­но­сти. Сей­час мы дадим опре­де­ле­ние с ошиб­кой, за­да­ча – найти эту ошиб­ку.

Опре­де­ле­ние:

Окруж­но­стью с цен­тром в точке О и ра­ди­у­сом R на­зы­ва­ют мно­же­ство точек плос­ко­сти, уда­лен­ных от одной точки – цен­тра окруж­но­сти О – на рас­сто­я­ние R.

Оче­вид­но, что ошиб­ка – про­пу­щен­ное важ­ное слово всех, то есть окруж­ность – мно­же­ство всех точек, рав­но­уда­лен­ных от ее цен­тра.

На­при­мер, вер­ши­ны A, B, C, D квад­ра­та – это мно­же­ство точек, рав­но­уда­лен­ных от цен­тра квад­ра­та, но это не есть окруж­ность (рис. 1).

Рис. 1. Квад­рат

Вспом­ним важ­ные эле­мен­ты окруж­но­сти:

Дуга ;

Угол  – цен­траль­ный угол;

Точка О – центр окруж­но­сти.

Имеем дугу и со­от­вет­ству­ю­щий цен­траль­ный угол (рис. 2).

Рис. 2. Эле­мен­ты окруж­но­сти

 Понятие градусной меры дуги

Рас­смот­рим по­ня­тие гра­дус­ной меры дуги.

За­да­на окруж­ность с цен­тром О. Дуга ALB не боль­ше по­лу­окруж­но­сти; дуга AМB боль­ше по­лу­окруж­но­сти.

Гра­дус­ной мерой дуги ALB на­зы­ва­ет­ся гра­дус­ная мера со­от­вет­ству­ю­ще­го цен­траль­но­го угла – .

Для дуги, боль­шей по­лу­окруж­но­сти, гра­дус­ной мерой будет сле­ду­ю­щая раз­ность:

 (рис. 3).

Рис. 3. Гра­дус­ная мера дуги

Две дуги  и  вме­сте со­став­ля­ют целую окруж­ность, за­пи­шем это:

Таким об­ра­зом, гра­дус­ная мера окруж­но­сти – это .

 Решение примеров

За­да­на окруж­ность с цен­тром О, диа­мет­ром АВ, ра­ди­у­сом, пер­пен­ди­ку­ляр­ным диа­мет­ру, ОС, ра­ди­у­сом ОМ, ко­то­рый со­став­ля­ет с ОС угол .

Дуга  – пол-окруж­но­сти;

Дуга  – чет­верть окруж­но­сти, угол  пря­мой;

Дуга ;

Дуга  со­сто­ит из двух дуг, ее гра­дус­ная мера равна сумме гра­дус­ных мер двух дуг: ;

Дуга  боль­ше по­лу­окруж­но­сти, зна­чит, ее гра­дус­ная мера – это раз­ность: .

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к при­ме­рам

Каж­дая дуга стя­ги­ва­ет­ся своей хор­дой, во мно­гих за­да­чах тре­бу­ет­ся найти длину этой хорды.

При­мер:

Ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром О – 16 см. Най­ди­те хорду АВ, если:

а) 

б) 

в) 

Ре­ше­ние:

Итак, в слу­чае а . Тре­уголь­ник  рав­но­бед­рен­ный, сто­ро­ны ОА и ОВ равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти. Углы при ос­но­ва­нии равны и сумма их равна , зна­чит, на каж­дый из углов при­хо­дит­ся , таким об­ра­зом, в тре­уголь­ни­ке  все углы со­став­ля­ют , а зна­чит, этот тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний и сто­ро­на АВ равна также ра­ди­у­су окруж­но­сти, то есть 16 см (рис. 5).

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к слу­чаю а

В слу­чае б цен­траль­ный угол  со­став­ля­ет . Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник  и при­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра, чтобы найти его ги­по­те­ну­зу: . Нашли  см (рис. 6).

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к слу­чаю б

В слу­чае в , зна­чит, в дан­ном слу­чае АВ яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти. Мы знаем, что диа­метр равен двум ра­ди­у­сам, ра­ди­ус нам из­ве­стен. Таким об­ра­зом,  см (рис. 7).

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к слу­чаю в

 Выводы по уроку

Итак, мы узна­ли, что такое цен­траль­ный угол, по­зна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем гра­дус­ной меры дуги окруж­но­сти. На сле­ду­ю­щем уроке мы изу­чим впи­сан­ный угол и тео­ре­му о нем.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/tsentralnyy-ugol-gradusnaya-mera-dugi-okruzhnosti

http://www.youtube.com/watch?v=0HoMsnCFqbw

http://www.youtube.com/watch?v=2vPPkguP4nc

http://www.youtube.com/watch?v=T72qIUHRSuw

http://www.youtube.com/watch?v=0iR0pmLSyp4

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/112-test-po-geometrii-8-klass-tema-tsentralnye-i-vpisannye-ugly-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/113-test-po-geometrii-8-klass-tema-tsentralnye-i-vpisannye-ugly-variant-2.html

http://fullref.ru/files/113/234c276c16bb9bfb3a10b7eecae6d636.html_files/rId20.png

Файлы