8 класс. Геометрия. Окружность. Теорема о вписанном угле.

Вписанные и центральные углы.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Вписанные и центральные углы.

Комментарии преподавателя

Теорема о вписанном угле

1. Основные определения, определение вписанного угла

Напомним некоторые определения

Определение:

Окружностью с центром в точке О и радиусом R называют множество всех точек плоскости, удаленных от точки О на расстояние R (см. Рис. 1).

Рис. 1

Часть окружности называется дугой.

Дуга имеет угловое измерение.

Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла :

Рассмотрим примеры:

Рис. 2

Определение

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

Рис. 3

Задана окружность с центром О, вершина А лежит на окружности, стороны АВ и АС угла пересекают окружность в точках В и С, угол называется вписанным. Он опирается на дугу , эта дуга расположена внутри угла (см. Рис. 3).

2. Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 4).

Рис. 4

Доказательство:

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: точка О принадлежит лучу АС (см. Рис. 5).

Рис. 5

Доказать, что

Обозначим угол через , тогда угол также будет равен , так как треугольник равнобедренный, его стороны ОВ и ОА равны как радиусы окружности. Угол является внешним для треугольника , внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним, получаем: , то есть угловое измерение дуги есть . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине измерения дуги, на которую он опирается.

Случай 2: точка О лежит внутри вписанного угла (см. Рис. 6).

Рис. 6

Доказать, что

Доказательство сводится к предыдущему случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол за и тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Угол за , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Вся дуга равна:

Угол в свою очередь, равен .

Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Случай 3: точка О находится вне вписанного угла (см. Рис. 7).

Рис. 7

Доказать, что

Доказательство снова сводится к первому случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол через , тогда дуга (объяснение см. случай 1). Угол обозначим через , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Дуга является разностью большой дуги и дуги :

Вписанный угол равен . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Итак, теорема полностью доказана, все случаи рассмотрены. И теперь из этого вытекают важные следствия.

3. Следствия теоремы о вписанном угле

Следствие 1:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 8).

Рис. 8

Угол равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол.

Таким образом, получаем:

Следствие 2

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 9).

Рис. 9

Теорема о вписанном угле является ключом к доказательству многих других теорем и к решению многих задач.

4. Теорема о хордах

Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная.

Рис. 10

Доказать, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и (см. Рис. 10). Данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углы и ; вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу . Выпишем соотношение подобия:

Применим свойство пропорции и преобразуем выражение:

, что и требовалось доказать.

5. Выводы по уроку

Итак, мы рассмотрели понятие вписанного угла и теорему о вписанном угле. В следующем уроке мы рассмотрим свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/teorema-o-vpisannom-ugle

http://www.youtube.com/watch?v=v-udmw0gZIo

http://www.youtube.com/watch?v=0HoMsnCFqbw

http://www.youtube.com/watch?v=jdGg3_gYImQ

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/112-test-po-geometrii-8-klass-tema-tsentralnye-i-vpisannye-ugly-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/113-test-po-geometrii-8-klass-tema-tsentralnye-i-vpisannye-ugly-variant-2.html

http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/78d/78d9db552be4b537618cdef1c61fb4cd.jpg