8 класс. Геометрия. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.
8 класс. Геометрия. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.
Комментарии преподавателя
Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку
1. Свойство биссектрисы угла, прямая и обратная теорема
Рассмотрим свойства точки, лежащей на биссектрисе угла (см. Рис. 1).
Рис. 1
Задан угол 
, его биссектриса AL, точка М лежит на биссектрисе.
Теорема:
Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.
Доказательство:
Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.
Рассмотрим треугольники 
и 
. Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы 
и 
равны, так как AL – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что 
, что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Справедлива обратная теорема.
2. Теорема о пересечении биссектрис треугольника
Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.
Рис. 2
Задан неразвернутый угол , точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое (см. Рис. 2).
Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла.
Доказательство:
3. Свойство серединного перпендикуляра, прямая и обратная теоремы
Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.
Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, 
, следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.
Прямую и обратную теоремы можно объединить.
Теорема
Биссектриса неразвернутого угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.
Теорема
Биссектрисы АА1, ВВ1, СС1 треугольника 
пересекаются в одной точке О (см. Рис. 3).
Рис. 3
Доказательство:
Рассмотрим сначала две биссектрисы ВВ1 и СС1. Они пересекаются, точка пересечения О существует. Чтобы доказать это, предположим противное – пусть данные биссектрисы не пересекаются, в таком случае они параллельны. Тогда прямая ВС является секущей, и сумма углов 
, это противоречит тому, что во всем треугольнике сумма углов 
.
Итак, точка О пересечения двух биссектрис существует. Рассмотрим ее свойства:
Точка О лежит на биссектрисе угла 
, значит, она равноудалена от его сторон ВА и ВС. Если ОК – перпендикуляр к ВС, OL – перпендикуляр к ВА, то длины этих перпендикуляров равны – 
. Также точка О лежит на биссектрисе угла 
и равноудалена от его сторон CВ и СА, перпендикуляры ОМ и ОК равны.
Получили следующие равенства:
, то есть все три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны треугольника, равны между собой.
Нас интересует равенство перпендикуляров OL и ОМ. Это равенство говорит о том, что точка О равноудалена от сторон угла
, отсюда следует, что она лежит на его биссектрисе АА1.
Таким образом, мы доказали, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Перейдем к рассмотрению отрезка, его серединного перпендикуляра и свойства точки, которая лежит на серединном перпендикуляре.
Задан отрезок АВ, р – серединный перпендикуляр. Это значит, что прямая р проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна ему.
Теорема
Рис. 4
Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка (см. Рис. 4).
Доказать, что 
Доказательство:
Рассмотрим треугольники 
и 
. Они прямоугольные и равные, т.к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть , что и требовалось доказать.
Заметим, что отрезок АВ является общей хордой для многих окружностей.
Например, первая окружность с центром в точке М и радиусом МА и МВ; вторая окружность с центром в точке N, радиусом NA и NB.
Таким образом, мы доказали, что если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, она равноудалена от концов отрезка (см. Рис. 5).
Рис. 5
Справедлива обратная теорема.
Теорема
Если некоторая точка М равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка (см. Рис. 6).
Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.
Рис. 6
Доказательство:
Рассмотрим треугольник 
. Он равнобедренный, так как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О – середина основания АВ, ОМ – медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что 
. Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит, прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.
Прямую и обратную теоремы можно обобщить.
Теорема
Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов.
Треугольник, как известно, состоит из трех отрезков, значит, в нем можно провести три серединных перпендикуляра. Оказывается, что они пересекаются в одной точке.
4. Теорема о пересечении серединных перпендикуляров в треугольнике
Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.
Задан треугольник . Перпендикуляры к его сторонам: Р1 к стороне ВС, Р2 к стороне АС, Р3 к стороне АВ (см. Рис. 7).
Доказать, что перпендикуляры Р1, Р2 и Р3 пересекаются в точке О.
Рис. 7
Доказательство:
Рассмотрим два серединных перпендикуляра Р2 и Р3, они пересекаются, точка пересечения О существует. Докажем этот факт от противного – пусть перпендикуляры Р2 и Р3 параллельны. Тогда угол развернутый, что противоречит тому факту, что сумма трех углов треугольника составляет . Итак, существует точка О пересечения двух из трех серединных перпендикуляров. Свойства точки О: она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ, значит, она равноудалена от концов отрезка АВ: 
. Также она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС, значит, 
. Получили следующие равенства:
Из данного равенства нас интересует тот факт, что 
, это значит, что точка О равноудалена от концов отрезка ВС, значит, она принадлежит серединному перпендикуляру к стороне ВС. Таким образом, точка О – точка пересечения трех серединных перпендикуляров треугольника , что и требовалось доказать.
5. Выводы по уроку
Итак, мы рассмотрели свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку, доказали некоторые теоремы.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/svoystva-bissektrisy-ugla-i-seredinnogo-perpendikulyara-k-otrezku
http://www.youtube.com/watch?v=c6bEzh2rDE4
http://www.youtube.com/watch?v=IFVw7_llF9M
http://www.eduprezent.ru/2011_3/file_20111124230708.ppt
http://istudy.su/wp-content/uploads/2013/01/3_%D0%91%D0%B8%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%B0-%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0.-%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%B51-731x1024.jpg
http://mypresentation.ru/documents/5acb27a34f9c8f0ca38bd29a96e907ae/img2.jpg
http://wiki.iteach.ru/images/9/9e/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BA%D0%B0%D1%82162.jpg
http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg
http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw
http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/04/01/qeomttria_8_klass_odysheva_o.v.rar