8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь правильного многоугольника.

Комментарии преподавателя

1. Понятие площади многоугольника, единицы измерения, смысл площади

Сегодняшний урок является вводным в разделе площади, и на нем мы поговорим об общем понятии площади многоугольника. С понятием площади мы часто сталкиваемся в повседневной жизни, говоря: «Площадь квартиры равна 50 м2» или «Площадь дачного участка – 6 соток»… Что же имеется в виду при произнесении этих фраз? На этом уроке нам и придется разобраться с такими понятиями.

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

2. Вычисление площади простейших фигур методом дробления на единичные квадраты

Измеряют площадь квадратами, сторонами которых являются единицы измерения отрезка. Например, если за единицу длины принять 1 см, то единицей измерения площади в таком случае будет квадрат со стороной 1 см, т.е. квадратный сантиметр – 1 см2(см. Рис. 1), если за единичный отрезок принять 1 метр, то ему будет соответствовать единица измерения площади – 1 м2, 1 миллиметру будет соответствовать 1 мм2. Если за единицу измерения стороны квадрата взять 10 м, то площадь такого квадрата будет равняться 1 сотке (такая величина используется чаще всего при измерении площадей участков земли).

Рис. 1. 1 см2

Обозначение площади: .

Смысл площади: площадь – это положительная величина, которая показывает, сколько раз единица измерения площади и ее части укладываются в данном многоугольнике.

Пример 1. Рассмотрим многоугольник, изображенный на Рис. 2. Найдем его площадь.

Рис. 2

Решение. В изображенном прямоугольнике единица измерения площади (квадрат со стороной 1 см) укладывается ровно 8 раз. Следовательно, площадь указанного прямоугольника равна 8 см2.

Ответ: 8 см2.

Пример 2. Рассмотрим трапецию , изображенную на Рис. 3. Определим ее площадь.

Рис. 3

Решение. В указанную трапецию, как видно из рисунка, квадратный сантиметр (1 см2) укладывается два раза в пределах прямоугольника , а в треугольник  он не укладывается. Для измерения площади этого треугольника мы вынуждены использовать более мелкую величину измерения площади – квадратный миллиметр (1 мм2). Для этого поместим треугольник  в квадрат со стороной 1 см, который предварительно разбит на более мелкие квадратики со стороной 1 мм (см. Рис. 4).

Рис. 4

Несложно видеть, что в 1 см2 размещается 100 мм2, т.к. . Теперь аналогично определению площади прямоугольника посчитаем, сколько целых маленьких квадратиков (квадратных миллиметров) укладывается в треугольник. Видно, что их ровно 5 (выделены серым цветом на рисунке 4). Но наш расчет площади неточен, т.к. мы видим, что в треугольник входят еще более мелкие части маленьких квадратиков, которые мы не посчитали. Из этого делаем вывод, что площадь трапеции мы можем определить лишь примерно.

.

Ответ: .

Замечание. Для увеличения точности вычисления площади рассмотренного выше треугольника можно было разбить его на белее мелкие квадратики и измерять площадь более мелкой величиной, чем 1 мм2. Таким образом, можно продолжать сколь угодно долго и дробить любые фигуры на мелкие части, однако такой способ не удобен и на практике, как правило, не используется. Для точного и быстрого вычисления площадей фигур применяют специальные формулы, которые мы и изучим в рамках данной главы.

3. Свойства площади

1. Площадь – величина положительная.

2. Равные многоугольники имеют равные площади.

4. Пример на применения свойств площади

Например, если рассмотреть изображенные на Рис. 5 равные четырехугольники ( и ), то их площади будут равны .

Рис. 5

3. Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей данных многоугольников.

Например, дана трапеция  (см. Рис. 6), которую высотами разбили на три фигуры: треугольник , прямоугольник  и треугольник . Тогда площадь трапеции: .

Рис. 6

4. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, т.е. если сторона квадрата равна , то .

Например, рассмотрим квадрат  (см. Рис. 7).

Рис. 7

Если сторона квадрата , то его площадь .

Пример 3. Найти сторону квадрата, если его площадь равна: а) 81 см2; б) 2,25 дм2.

Решение. Для решения обоих пунктов достаточно применить четвертое свойство площади .

а) ;

б) .

Ответ: а) ; б) .

5. Пример на перевод величин измерения площади

Пример 4. Площадь квадрата равна 25 см2. Выразите площадь этого квадрата:

а) в квадратных миллиметрах;

б) в квадратных дециметрах.

Решение. Для решения задачи нам необходимо использовать переход от линейных величин измерения длин к квадратным величинам измерения площадей, проделаем мы это путем возведения первых в квадрат.

а) ;

б) .

Ответ: а) ; б) .

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/ponyatie-ploschadi-mnogougolnika

http://www.youtube.com/watch?v=Oik0JXdJi5k

http://u.5klass.net/zip/e5e7a59bad82452d29f5a183391d8f48.zip

http://2.bp.blogspot.com/-tzagPYYKCoA/T1TPs9Gn79I/AAAAAAAAA-A/_45Rkbmxv-c/s1600/Geom_28.jpg

http://2.bp.blogspot.com/-tzagPYYKCoA/T1TPs9Gn79I/AAAAAAAAA-A/_45Rkbmxv-c/s1600/Geom_28.jpg

http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/10/8_%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C-%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0_1.jpg

http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/472/472c971b568406b48eeab0930f4c058b.jpg

Файлы