8 класс. Геометрия. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
8 класс. Геометрия. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
Комментарии преподавателя
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
1. Первый признак подобия и его формулировка для прямоугольного треугольника
На этом уроке мы познакомимся с пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике, выведем соответствующие формулы.
Для этого нам понадобится первый признак подобия треугольников. Вспомним его: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (см. Рис. 1).
Рис. 1
; . При этом коэффициент называется коэффициентом подобия.
2. Углы в прямоугольном треугольнике
Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники.
Поскольку в прямоугольных треугольниках всегда есть пара равных углов (это прямые углы), то для них можно сформулировать следующий признак подобия: прямоугольные треугольники подобны, если имеют равные острые углы (см. Рис. 2).
Рис. 2
.
При этом отметим важный факт: в прямоугольных треугольниках сумма острых углов равна :
Рассмотрим простую задачу для прямоугольного треугольника.
Дано: – прямоугольный (), , – высота.
Найти: остальные углы треугольника (см. Рис. 3).
Решение:
Для решения задачи будем использовать сформулированный выше факт: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна
Рис. 3
. Значит, .
Кроме того, треугольник – также прямоугольный, поэтому сумма его острых углов также равна (см. Рис. 4).
Аналогично с треугольником : .
Рис. 4
Из этого свойства прямоугольного треугольника и его высоты, проведённой к гипотенузе, следует несколько важных фактов.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с высотой, которая проведена к гипотенузе (см. Рис. 5).
Рис. 5
– проекция катета на гипотенузу , – проекция катета на гипотенузу – это стандартные обозначения.
На Рис. 5 изображено три прямоугольных треугольника , причём в каждом из них есть острый угол . Значит, эти треугольники подобны по первому признаку подобия для прямоугольных треугольников: .
3. Теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике
С помощью этого факта можно доказать три теоремы:
1. (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).
2. (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).
3. (высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу).
Определение
Средним геометрическим двух неотрицательных чисел и называется такое неотрицательное число , что: .
Докажем сформулированные выше теоремы.
4. Доказательство теорем
Теорема 1. .
Доказательство:
Воспользуемся подобием треугольников . Запишем отношение соответствующих сторон: (отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: .
Доказано
Теорема 2. .
Доказательство:
Воспользуемся подобием треугольников . Запишем отношение соответствующих сторон: . (отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: .
Доказано.
Теорема 3. .
Доказательство
Воспользуемся подобием треугольников . Запишем отношение соответствующих сторон: (отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: .
Доказано.
5. Альтернативное доказательство теоремы Пифагора
Примечание:
Сформулируем ещё одно альтернативное доказательство теоремы Пифагора с помощью доказанных выше теорем.
.
Доказанные теоремы позволяют решать многие задачи, связанные с прямоугольными треугольниками.
6. Пример на применение доказанных теорем
Пример 1
Дан прямоугольный треугольник ( – высота. . Найти (см. Рис. 6).
Решение:
Рис. 6
Найдём длину гипотенузы: . Далее воспользуемся доказанными теоремами:
Ответ: .
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/proportsionalnye-otrezki-v-pryamougolnom-treugolnike
http://www.youtube.com/watch?v=SjifXGcWduw
http://www.youtube.com/watch?v=TD--RoW1iBQ
http://test-training.ru/tag/geometriya-8-proportsionalyne-otrezki-v-pryamougolynom-treugolynike
http://cs614921.vk.me/v614921053/13198/l8RH3BalS-k.jpg
http://fs.nashaucheba.ru/tw_files2/urls_3/1886/d-1885403/img3.jpg
http://fs.nashaucheba.ru/tw_files2/urls_3/1886/d-1885403/img4.jpg