8 класс. Геометрия. Практические приложения подобия треугольников.

Комментарии преподавателя

Прак­ти­че­ские при­ло­же­ния по­до­бия тре­уголь­ни­ков

 1. Повторение определения и признаков подобия треугольников

По­вто­рим ос­нов­ные по­ня­тия, свя­зан­ные с по­до­би­ем тре­уголь­ни­ков.

Опре­де­ле­ние. Два тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, ес­ли­их углы по­пар­но равны, а сто­ро­ны, ле­жа­щие на­про­тив со­от­вет­ствен­ных углов, про­пор­ци­о­наль­ны (см. Рис. 1).

.

Рис. 1

Таким об­ра­зом, сто­ро­ны боль­ше­го тре­уголь­ни­ка можно вы­ра­зить через сто­ро­ны ма­ло­го тре­уголь­ни­ка таким об­ра­зом: .

При­зна­ки по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

1. Пер­вый при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков (по двум углам). Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

2. Вто­рой при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков (по двум сто­ро­нам и углу между ними). Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка и углы между этими сто­ро­на­ми равны, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

3. Тре­тий при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков (по трем сто­ро­нам). Если три сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны трем сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

 2. Задачи на измерения на местности

При­мер 1. Опре­де­лить вы­со­ту де­ре­ва () и рас­сто­я­ние до его вер­ши­ны (), не за­ле­зая на него (см. Рис. 2).

Ре­ше­ние. Для опре­де­ле­ния ис­ко­мых ве­ли­чин ис­поль­зу­ем шест  из­вест­ной длины с вра­ща­ю­щей­ся план­кой на конце, ко­то­рый уста­нав­ли­ва­ем так, чтобы точки  ле­жа­ли на одной пря­мой. Ис­поль­зо­ва­ние вспо­мо­га­тель­но­го шеста необ­хо­ди­мо для уста­нов­ле­ния факта по­до­бия тре­уголь­ни­ков  и вы­чис­ле­ния ис­ко­мых сто­рон с по­мо­щью ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия.

Тре­уголь­ни­ки  по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия, т.к. у них угол  общий и они пря­мо­уголь­ные, т.е. имеют еще по пря­мо­му углу.

Рис. 2

Сле­до­ва­тель­но, по опре­де­ле­нию по­доб­ных тре­уголь­ни­ков , где  вы­со­та шеста,  рас­сто­я­ние от точки  до шеста,  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

Ответ. , где .

При­мер 2. Опре­де­лить рас­сто­я­ние от точки  до недо­ступ­ной точки  (см. Рис. 3).

Ре­ше­ние.

Рис. 3

Вы­би­ра­ем на мест­но­сти удоб­ную точку  и за­ме­ря­ем углы . По этим углам можно по­стро­ить дру­гой мень­ший тре­уголь­ник , ко­то­рый будет по­доб­ным к тре­уголь­ни­ку  по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия. В по­стро­ен­ном, на­при­мер, на бу­ма­ге тре­уголь­ни­ке  можно вы­пол­нить любые из­ме­ре­ния. Из­ме­рим длину сто­рон  и . Затем из­ме­рим на мест­но­сти рас­сто­я­ние от ука­зан­ной точки  до вы­бран­ной точки : .

За­пи­шем со­от­но­ше­ние сто­рон по­доб­ных тре­уголь­ни­ков :

.

Ответ. .

 3. Задача на построение

Рас­смот­рим ана­ло­гич­ную за­да­чу, но уже с рас­че­та­ми, в ко­то­рых важно уметь вы­брать удоб­ный ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия.

При­мер 3. Опре­де­лить рас­сто­я­ние в мет­рах от точки  до недо­ступ­ной точки , если  (см. Рис. 3).

Ре­ше­ние. По­стро­им умень­шен­ный по­доб­ный тре­уголь­ник  так, чтобы , т.е. тогда ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия будет равен удоб­но­му для даль­ней­ших вы­чис­ле­ний числу . За­ме­ря­ем .

По­сколь­ку, как ука­за­но ранее, .

Ответ. 200 м.

При­мер 4. По­стро­ить тре­уголь­ник по двум углам и бис­сек­три­се при вер­шине тре­тье­го угла.

По­стро­е­ние. Дано:  бис­сек­три­са тре­тье­го угла (см. Рис. 4).

Рис. 4

Вы­бе­рем про­из­воль­ный от­ре­зок  и стро­им на нем тре­уголь­ник  по сто­роне и двум углам . В по­стро­ен­ном тре­уголь­ни­ке про­во­дим бис­сек­три­су из угла , и если она не сов­па­ла с ука­зан­ной в усло­вии бис­сек­три­сой, то стро­им . Затем через точку  про­во­дим пря­мую  до пе­ре­се­че­ния с про­дол­же­ни­я­ми сто­рон  и  тре­уголь­ни­ка . Ис­ко­мый тре­уголь­ник  по­стро­ен. Углы  как со­от­вет­ствен­ные при па­рал­лель­ных пря­мых,  необ­хо­ди­мая бис­сек­три­са (см. Рис. 5).

Рис. 5

По­стро­е­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/prakticheskie-prilozheniya-podobiya-treugolnikov

http://www.youtube.com/watch?v=Odyr65t5S5k

http://www.youtube.com/watch?v=BiI7bp4DP1o

http://www.youtube.com/watch?v=i3xoMoBXEkI&feature=player_embedded

http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/09/9_Podobie-treugolnikov.jpg

http://u.900igr.net/zip/4f253519402fc80180e2e7788897eaca.zip

http://u.900igr.net/zip/fbe99e0a6c821bee79b37640f9f6da53.zip

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/103-test-po-geometrii-8-klass-tema-primenenie-podobiya-pri-reshenii-zadach-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/104-test-po-geometrii-8-klass-tema-primenenie-podobiya-pri-reshenii-zadach-variant-2.html

Файлы