8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Комментарии преподавателя

Синус, ко­си­нус и тан­генс остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

 1. Повторение основных понятий, связанных с прямоугольным треугольником

На этом уроке мы по­зна­ко­мим­ся с си­ну­сом, ко­си­ну­сом и тан­ген­сом – три­го­но­мет­ри­че­ски­ми функ­ци­я­ми, свя­зы­ва­ю­щи­ми ост­рый угол пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми и ги­по­те­ну­зой этого тре­уголь­ни­ка. Это очень важ­ные по­ня­тия, ко­то­рые будут встре­чать­ся не толь­ко в гео­мет­рии, но и в ал­геб­ре, фи­зи­ке и во мно­гих дру­гих на­у­ках.

На­пом­ним ос­нов­ные све­де­ния о пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке (см. Рис. 1).

Рис. 1

;

 – ка­те­ты;  – ги­по­те­ну­за.

Также в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке сумма ост­рых углов равна : .

Для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка также верна тео­ре­ма Пи­фа­го­ра: .

Вве­дём те­перь по­ня­тие си­ну­са, ко­си­ну­са и тан­ген­са остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

 2. Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Опре­де­ле­ние

Си­ну­сом остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го этому углу ка­те­та к ги­по­те­ну­зе.

, .

Опре­де­ле­ние

Ко­си­ну­сом остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние при­ле­жа­ще­го к этому углу ка­те­та к ги­по­те­ну­зе.

, .

Опре­де­ле­ние

Тан­ген­сом остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го этому углу ка­те­та к при­ле­жа­ще­му ка­те­ту.

, .

 3. Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла

С по­мо­щью вве­дён­ных по­ня­тий можно на­хо­дить ка­те­ты или ги­по­те­ну­зу.

На­при­мер, из фор­му­лы: . Ана­ло­гич­но: .

Также можно по­лу­чить фор­му­лу для связи длин двух ка­те­тов: .

 4. Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника

При ре­ше­нии задач очень важно знать со­от­но­ше­ния между си­ну­сом, ко­си­ну­сом и тан­ген­сом остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щие две фор­му­лы: . Так как сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна , то фор­му­ла при­об­ре­та­ет сле­ду­ю­щий вид:

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем: . Так как сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна , то фор­му­ла при­об­ре­та­ет сле­ду­ю­щий вид:

 5. Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом

До­ка­жем те­перь важ­ную фор­му­лу, свя­зы­ва­ю­щую тан­генс с си­ну­сом и ко­си­ну­сом:

 6. Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника

До­ка­за­тель­ство

За­пи­шем опре­де­ле­ние си­ну­са и ко­си­ну­са остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка: , . Тогда: . До­ка­за­но.

Ана­ло­гич­но: .

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щую важ­ную за­да­чу.

За­да­ча

Даны пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки . Кроме того, .

До­ка­зать:.

До­ка­за­тель­ство

 (так как оба тре­уголь­ни­ка пря­мо­уголь­ные с рав­ны­ми ост­ры­ми уг­ла­ми). Зна­чит, вы­пол­ня­ет­ся сле­ду­ю­щее со­от­но­ше­ние: .

От­сю­да по­лу­ча­ем: .

.

.

До­ка­за­но.

Вывод: синус, ко­си­нус и тан­генс не за­ви­сят от тре­уголь­ни­ка, а за­ви­сят толь­ко от угла.

 7. Основное тригонометрическое тождество

Сфор­му­ли­ру­ем и до­ка­жем одну из важ­ней­ших тео­рем, свя­зы­ва­ю­щих синус и ко­си­нус остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, – ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство.

Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство: .

При­ме­ча­ние: 

До­ка­за­тель­ство

, тогда:  (при до­ка­за­тель­стве мы поль­зо­ва­лись тео­ре­мой Пи­фа­го­ра: ).

До­ка­за­но.

Рас­смот­рим при­мер, ил­лю­стри­ру­ю­щий связь три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций.

 8. Решение примера

Дано:  – пря­мо­уголь­ный (), .

Найти: 

Ре­ше­ние

Вос­поль­зу­ем­ся ос­нов­ным три­го­но­мет­ри­че­ским тож­де­ством: . Под­ста­вим в него из­вест­ное нам зна­че­ние си­ну­са: . От­сю­да: . Так как ко­си­нус, по опре­де­ле­нию, – это от­но­ше­ние ка­те­та к ги­по­те­ну­зе, то он может быть толь­ко по­ло­жи­тель­ным, по­это­му: .

Най­дём те­перь тан­генс угла, поль­зу­ясь фор­му­лой: .

Ответ: .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/sinus-kosinus-i-tangens-ostrogo-ugla-pryamougolnogo-treugolnika

http://www.youtube.com/watch?v=PWnvUpWT0TU

http://www.youtube.com/watch?v=NltgxlJpddg

http://www.youtube.com/watch?v=CvQYL11ce4c

http://www.funlib.ru/cimg/2014/102107/3325015

http://edu.convdocs.org/tw_files2/urls_25/7/d-6526/img4.jpg

http://player.myshared.ru/771881/data/images/img6.jpg

 

Файлы