8 класс. Геометрия. Признаки параллелограмма. Задачи на параллелограмм.

Комментарии преподавателя

За­да­чи на па­рал­ле­ло­грамм

 1. Повторение определения, свойств и признака параллелограмма

Се­год­ня мы ос­нов­ное вни­ма­ние уде­лим за­да­чам на па­рал­ле­ло­грамм. Для этого нам необ­хо­ди­мо вла­деть опре­де­ле­ни­ем па­рал­ле­ло­грам­ма, его свой­ства­ми и при­зна­ка­ми. По­вто­рим эти факты, обоб­щим и струк­ту­ри­ру­ем их.

Опре­де­ле­ние. Па­рал­ле­ло­грамм – че­ты­рех­уголь­ник, у ко­то­ро­го каж­дые две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­лель­ны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Па­рал­ле­ло­грамм

Ос­нов­ные свой­ства па­рал­ле­ло­грам­ма:

Тео­ре­ма. Пер­вый при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны (см. Рис. 2), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм.  па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 2. Пер­вый при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Рис. 3. Вто­рой при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Тео­ре­ма. Вто­рой при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке каж­дые две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны (см. Рис. 3), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм.  па­рал­ле­ло­грамм.

Тео­ре­ма. Тре­тий при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке диа­го­на­ли точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам (см. Рис. 4), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм.  па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 4. Тре­тий при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

 2. Задачи на параллелограммы

Те­перь рас­смот­рим ре­ше­ние задач с ис­поль­зо­ва­ни­ем опре­де­ле­ния, свойств и при­зна­ков па­рал­ле­ло­грам­ма.

При­мер 1. В па­рал­ле­ло­грам­ме  про­ве­де­ны бис­сек­три­сы  и , ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Найти .

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 5.

Рис. 5

Обо­зна­чим для удоб­ства: . Сле­до­ва­тель­но,  по­сколь­ку  и  бис­сек­три­сы.

По тео­ре­ме о сумме внут­рен­них углов тре­уголь­ни­ка .

Вспом­ним свой­ство па­рал­ле­ло­грам­ма о сумме углов, при­ле­жа­щих к одной сто­роне: . Тогда:

.

Ответ. .

При­мер 2. Пря­мая , про­ве­ден­ная через се­ре­ди­ну  сто­ро­ны  па­рал­лель­но сто­роне  тре­уголь­ни­ка  пе­ре­се­ка­ет тре­тью его сто­ро­ну в се­ре­дине. До­ка­зать, что  – это се­ре­ди­на .

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим Рис. 6 с до­пол­ни­тель­ны­ми по­стро­е­ни­я­ми: про­ве­дем .

Рис. 6

Рас­смот­рим че­ты­рех­уголь­ник :

 па­рал­ле­ло­грамм по опре­де­ле­нию. Тогда по свой­ству ра­вен­ства про­ти­во­по­лож­ных сто­рон , но по усло­вию еще из­вест­но, что , сле­до­ва­тель­но, .

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и :

 по вто­ро­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков (по сто­роне и при­ле­жа­щим углам).

Из ра­вен­ства ука­зан­ных тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство их со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон, т.е., на­при­мер, что . Это озна­ча­ет, что точка  яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной сто­ро­ны . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

 3. Теорема Фалеса

Тео­ре­ма Фа­ле­са. Если па­рал­лель­ные пря­мые, ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют сто­ро­ны угла, от­се­ка­ют на одной его сто­роне рав­ные от­рез­ки, то они от­се­ка­ют рав­ные от­рез­ки и на дру­гой его сто­роне.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим Рис. 7.

Рис. 7. Тео­ре­ма Фа­ле­са

Рас­смот­рим . В нем точка  – се­ре­ди­на сто­ро­ны , а пря­мая . Из преды­ду­ще­го при­ме­ра сле­ду­ет, что точка  делит сто­ро­ну   на две рав­ные части, т.е. . Ра­вен­ство двух от­рез­ков, бли­жай­ших к вер­шине угла до­ка­за­но. Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся по­пар­ное ра­вен­ство всех осталь­ных от­рез­ков на вто­рой сто­роне угла, если про­во­дить пря­мые па­рал­лель­ные пер­вой сто­роне угла через на­ча­ло пер­во­го от­рез­ка в любой рас­смат­ри­ва­е­мой паре.

До­ка­за­но.

 4. Пример задачи на применение теоремы Фалеса

Рас­смот­рим при­мер на до­ка­зан­ную тео­ре­му.

При­мер 3. Дан от­ре­зок , раз­де­лить его на три рав­ные части.

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим ука­зан­ный от­ре­зок на Рис. 8 и сде­ла­ем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния: от­ло­жим три рав­ных от­рез­ка любой длины  вдоль одной пря­мой, не сов­па­да­ю­щей с ука­зан­ным в усло­вии от­рез­ком.

Рис. 8. При­ме­не­ние тео­ре­мы Фа­ле­са

Со­еди­ним пря­мой точки  и , а затем про­ве­дем пря­мые, па­рал­лель­ные пря­мой , через точки  и : . По­лу­чен­ные при пе­ре­се­че­нии от­рез­ка точки  и  будут де­лить от­ре­зок  на три рав­ных части по тео­ре­ме Фа­ле­са. Необ­хо­ди­мое по­стро­е­ние вы­пол­не­но и за­да­ча ре­ше­на.

Ответ: по­стро­е­но.

Ме­то­ды, ко­то­рые мы рас­смот­ре­ли се­год­ня на при­ме­рах, де­мон­стри­ру­ю­щих свой­ства и при­зна­ки па­рал­ле­ло­грам­ма, по­мо­гут нам в даль­ней­шем при ра­бо­те с па­рал­ле­ло­грам­ма­ми в более слож­ных слу­ча­ях. А на сле­ду­ю­щем уроке мы по­зна­ко­мим­ся с таким видом че­ты­рех­уголь­ни­ков, как тра­пе­ция, и об­су­дим ее свой­ства.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/zadachi-na-parallelogramm

http://www.youtube.com/watch?v=Se1frG9ieaM

http://www.youtube.com/watch?v=a5hlnvp3WY8

http://www.youtube.com/watch?v=enBUmEVptlc&feature=player_embedded

http://www.шкматем.рф/wp-content/uploads/2012/08/%D0%926-23.png

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

https://yandex.ru/images/search?img_url=http%3A%2F%2Fcs10002.vk.me%2Fu31195134%2F116260458%2Fx_56d40dd3.jpg&_=1451680625095&p=1&text=%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%208%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F&noreask=1&pos=55&rpt=simage&lr=10982

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

Файлы