8 класс. Геометрия. Признаки параллелограмма. Задачи на параллелограмм.
8 класс. Геометрия. Признаки параллелограмма. Задачи на параллелограмм.
Комментарии преподавателя
Задачи на параллелограмм
1. Повторение определения, свойств и признака параллелограмма
Сегодня мы основное внимание уделим задачам на параллелограмм. Для этого нам необходимо владеть определением параллелограмма, его свойствами и признаками. Повторим эти факты, обобщим и структурируем их.
Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
Основные свойства параллелограмма:
Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Рис. 2. Первый признак параллелограмма
Рис. 3. Второй признак параллелограмма
Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Рис. 4. Третий признак параллелограмма
2. Задачи на параллелограммы
Теперь рассмотрим решение задач с использованием определения, свойств и признаков параллелограмма.
Пример 1. В параллелограмме проведены биссектрисы и , которые пересекаются в точке . Найти .
Решение. Изобразим Рис. 5.
Рис. 5
Обозначим для удобства: . Следовательно, поскольку и биссектрисы.
По теореме о сумме внутренних углов треугольника .
Вспомним свойство параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне: . Тогда:
.
Ответ. .
Пример 2. Прямая , проведенная через середину стороны параллельно стороне треугольника пересекает третью его сторону в середине. Доказать, что – это середина .
Доказательство. Изобразим Рис. 6 с дополнительными построениями: проведем .
Рис. 6
Рассмотрим четырехугольник :
параллелограмм по определению. Тогда по свойству равенства противоположных сторон , но по условию еще известно, что , следовательно, .
Рассмотрим треугольники и :
по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам).
Из равенства указанных треугольников следует равенство их соответствующих сторон, т.е., например, что . Это означает, что точка является серединой стороны . Что и требовалось доказать.
Доказано.
3. Теорема Фалеса
Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Доказательство. Изобразим Рис. 7.
Рис. 7. Теорема Фалеса
Рассмотрим . В нем точка – середина стороны , а прямая . Из предыдущего примера следует, что точка делит сторону на две равные части, т.е. . Равенство двух отрезков, ближайших к вершине угла доказано. Аналогично доказывается попарное равенство всех остальных отрезков на второй стороне угла, если проводить прямые параллельные первой стороне угла через начало первого отрезка в любой рассматриваемой паре.
Доказано.
4. Пример задачи на применение теоремы Фалеса
Рассмотрим пример на доказанную теорему.
Пример 3. Дан отрезок , разделить его на три равные части.
Решение. Изобразим указанный отрезок на Рис. 8 и сделаем дополнительные построения: отложим три равных отрезка любой длины вдоль одной прямой, не совпадающей с указанным в условии отрезком.
Рис. 8. Применение теоремы Фалеса
Соединим прямой точки и , а затем проведем прямые, параллельные прямой , через точки и : . Полученные при пересечении отрезка точки и будут делить отрезок на три равных части по теореме Фалеса. Необходимое построение выполнено и задача решена.
Ответ: построено.
Методы, которые мы рассмотрели сегодня на примерах, демонстрирующих свойства и признаки параллелограмма, помогут нам в дальнейшем при работе с параллелограммами в более сложных случаях. А на следующем уроке мы познакомимся с таким видом четырехугольников, как трапеция, и обсудим ее свойства.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/zadachi-na-parallelogramm
http://www.youtube.com/watch?v=Se1frG9ieaM
http://www.youtube.com/watch?v=a5hlnvp3WY8
http://www.youtube.com/watch?v=enBUmEVptlc&feature=player_embedded
http://www.шкматем.рф/wp-content/uploads/2012/08/%D0%926-23.png
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
https://yandex.ru/images/search?img_url=http%3A%2F%2Fcs10002.vk.me%2Fu31195134%2F116260458%2Fx_56d40dd3.jpg&_=1451680625095&p=1&text=%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%208%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F&noreask=1&pos=55&rpt=simage&lr=10982
http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg
http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw