8 класс. Геометрия. Площадь треугольника .
8 класс. Геометрия. Площадь треугольника .
Комментарии преподавателя
Формула для площади треугольника и следствия из неё
На данном уроке мы докажем формулу для площади треугольника и решим несколько задач на её применение.
Будем называть сторону 
– основанием, тогда 
– высота, опущенная к этой стороне (см. Рис. 1).
Рис. 1. Высота и основание
Теорема о свойстве медианы треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
В формульном виде: 
.
Доказательство:
Рис. 2. Иллюстрация к теореме
Достроим треугольник до параллелограмма – см. Рис. 2.
(по трём сторонам: 
– общая, 
, 
– как противоположные стороны параллелограмма).
Из равенства треугольников следует равенство их площадей: 
. Получаем: 
. Воспользовавшись формулой для площади параллелограмма: 
.
Доказано.
Сформулируем несколько следствий из данной теоремы.
Следствие 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (см. Рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к следствию 1
.
Следствие 2
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания (см. Рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к следствию 2
.
Теорема 2
Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника (см. Рис. 5).
Доказательство:
Рис. 5. Иллюстрация к теореме
Пусть 
– треугольник, 
– медиана, 
– высота. Для треугольников 
– также является высотой. Запишем формулу для площади каждого из этих треугольников: 
, 
. Так как 
( – медиана), то: 
. Значит, эти треугольники являются равновеликими.
Доказано.
Формула для площади ромба
Теорема 3
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей (см. Рис. 6).
В виде формулы: 
.
Доказательство:
Рис. 6. Иллюстрация к теореме
(по 3 сторонам: 
– общая, 
– свойства ромба). Из равенства треугольников следует равенство их площадей. Значит: 
. Но формулу для площади треугольника мы уже знаем: 
(т. к. 
, поэтому 
– высота треугольника 
). Получаем следующее равенство: 
(
– свойство диагоналей ромба).
Доказано.
Свойство треугольников с равными углами
Теорема 4
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
В виде формулы: 
.
Доказательство:
Рис. 7. Иллюстрация к теореме
Совместим треугольники так, чтобы вершина 
совпала с вершиной 
, сторона лежала на прямой 
, а сторона 
лежала на прямой 
.
Рис. 8. Иллюстрация к теореме
Рассмотрим отношение площадей треугольников и 
. Эти треугольники имеют общую высоту, проведённую из вершины 
, поэтому, по следствию 2 из теоремы 1, их площади относятся как основания, то есть: 
.
Из аналогичных соображений: 
. Перемножив эти два равенства, получим: 
.
Доказано.
Задачи на площадь треугольника и следствия из неё
Теперь решим несколько задач, используя доказанные формулы и свойства.
Задача 1
Площадь прямоугольного треугольника равна 
. Найдите катеты этого треугольника, если известно, что один из них составляет 
другого.
Решение
Пусть один из катетов равен , а второй – 
. Тогда площадь треугольника можно вычислить по формуле: . Но, по условию: 
. Подставив это выражение, получаем: 
. Откуда: 
.
Ответ: 
.
Задача 2
В треугольнике точка 
лежит на стороне , точка 
лежит на стороне . Кроме того: 
, 
, 
. Чему равна площадь треугольника (Рис. 9)?
Решение:
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Воспользуемся теоремой 4 для треугольников 
и (
– общий угол этих треугольников). Из этой теоремы следует, что: 
. Значит: 
.
Ответ: 
.
На этом уроке мы рассмотрели понятия площадей треугольника и ромба, вывели из них некоторые следствия. На следующем уроке мы научимся вычислять площадь трапеции.
ИСТОЧНИК
http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/ploschad-treugolnika
http://www.youtube.com/watch?v=2e7Qf6iEPPs
http://www.youtube.com/watch?v=mCI3Yj4t1O8
http://v.5klass.net/zip/7b9fd7f7274ef33da70777cf1fd1d25d.zip
http://fs01.metod-kopilka.ru/files/2015/01/11/Ploschad_treugolnika_8_klassna_18_noyabrya_pptx_1421009203.pptx
http://5klass.net/datas/geometrija/Ploschad-treugolnika-8-klass/0004-004-Ploschad-treugolnika.jpg
http://www.klassnye-chasy.ru/userfiles/ploshchad-treugolnika1.jpg
http://fs00.infourok.ru/images/doc/309/308291/img18.jpg