8 класс. Геометрия. Площадь трапеции.

Площадь трапеции.

ДАЛЬШЕ

Площадь трапеции.

Комментарии преподавателя

Площадь трапеции

1. Теорема о площади трапеции

Сегодня мы поговорим о площади трапеции, которая является одним из видов многоугольников. Известно, что любой многоугольник можно разбить на треугольники, при этом подсчитать площадь многоугольника можно, сложив площади треугольников, на которые его разбили. Подобным образом мы и будем искать площадь трапеции. Вспомним определение трапеции.

Определение. Трапеция – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Трапеция

Теорема. О площади трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. (см. Рис. 2).

Доказательство. Рассмотрим трапецию , в которой проведем высоты и и диагональ .

Рис. 2

Проведенная диагональ разбивает трапецию на два треугольника и . Тогда по третьему свойству площади многоугольников: . Рассмотрим эти треугольники.

: основание, высота, следовательно, .

Учитывая формулу суммы площадей и то, что высоты трапеции равны , получим: , что и требовалось доказать.

Доказано.

2. Примеры на расчет площади трапеции

Рассмотрим применение доказанной теоремы на примерах.

Пример 1. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 9 см, а больший угол равен .

Решение. Изобразим прямоугольную трапецию и проведем в ней высоту на Рис. 3.

Рис. 3

Очевидно, что в роли двух меньших сторон трапеции могут выступать только ее меньшее основание и боковая сторона, которая ему перпендикулярна, т.к. именно эта боковая сторона меньше наклонной боковой стороны. Таким образом, по рисунку .