7 класс. Алгебра. Решение линейных уравнений с одной переменной.
7 класс. Алгебра. Решение линейных уравнений с одной переменной.
Комментарии преподавателя
На данном уроке мы начнем изучение темы «Уравнения». Мы рассмотрим линейное уравнение с одной переменной в общем виде, а также на конкретных примерах. Кроме того, решим текстовые задачи.
Основные определения, истоки уравнения
Определение
Линейным уравнением с одной неизвестной называется уравнение вида:
.
Здесь 
– искомая неизвестная, 
и 
– коэффициенты, параметры.
Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться в том, что решений нет.
Определение
Корень уравнения – это такое значение , при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
Линейное уравнение описывает равномерное прямолинейное движение с постоянной скоростью:
– путь равен произведению скорости и времени.
Если перенести все слагаемые в одну сторону, получим:
.
Выполним переобозначение:
.
Получим изучаемое линейное уравнение.
Решение уравнений в общих и частном случаях
Пример 1:
Прибавим три к обеим частям уравнения – при этом равенство не изменится:
.
Разделим обе части на два:
.
Ответ: 
.
Комментарий: наша главная цель – найти , для этого мы выполняем одинаковые преобразования над обеими частями уравнения.
Решим уравнение в общем виде:
.
Отнимем в обеих частях число :
.
Поскольку 
имеем право обе части поделить на :
.
Вывод: при линейное уравнение имеет единственный корень: .
Рассмотрим случай, когда 
:
.
Уравнение имеет бесчисленное множество решений, любое действительное удовлетворяет уравнению
.
Решений нет.
Так, в общем случае уравнение имеет решение:
При 
.
При 
– любое число, бесчисленное множество решений.
При 
решений нет.
В рассматриваемое линейное уравнение неизвестное входит в первой степени, поэтому такое уравнение носит название уравнения первой степени, к нему сводятся многие другие уравнения.
Пример 2:
.
Используя свойства уравнения, имеем право перенести слагаемое из правой части урвнения в левую с противоположным знаком или слагаемое из левой части - в правую тоже с противоположным знаком. Перенесем все члены с влево, а числа вправо:
.
Поделим обе части на два:
.
Ответ: .
Пример 3:
.
Раскроем скобки:
.
Прибавим пять к обеим частям уравнения:
.
Поделим обе части на два:
.
Очевидно, что решением данного уравнения может быть любое число.
Ответ: уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Пример 4:
.
Раскроем скобки:
Перенесем все члены с влево, а числа вправо:
.
Получено неверное числовое равенство.
Ответ: решений нет.
Решение текстовых задач
Пример 5: решить задачу.
Папе и дедушке вместе 111 лет. Сколько лет каждому, если папа в два раза моложе дедушки?
Решение: пусть папе лет. Поскольку дедушка в два раза его старше, ему 
лет. Тогда имеем уравнение:
.
Поделим обе части на три:
.
Так, папе 37 лет. Тогда дедушке 
года.
Ответ: папе 37 лет, дедушке 74 года.
Пример 6
При каком значении 
значение выражения 
в три раза больше значения выражения 
?
Решение
Если первое выражение в три раза больше второго, имеем право второе умножить на три и приравнять:
.
Раскроем скобки:
.
Перенесем все члены с влево, а числа вправо:
.
Поделим обе части на минус семь:
.
Ответ: при первое заданное выражение в три раза больше второго.
Вывод: на данном уроке мы рассмотрели линейное уравнение с одной переменной и выяснили его специфику. Такое уравнение может иметь одно решение, бесчисленное множество решений или вовсе не иметь решений.
Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=zBPtIA1FdG8
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/matematicheskij-yazyk-matematicheskaya-model/lineynoe-uravnenie-s-odnoy-peremennoy-tarasov-v-a?konspekt&chapter_id=1