Первое начало (закон) термодинамики.
Первое начало (закон) термодинамики.
Комментарии преподавателя
Внутреннюю энергию системы можно совершить двумя способами: совершить над системой работу и/или передать системе некоторое количество теплоты.
Это утверждение, только выраженное в строгой математической формуле, и получило название первого закона термодинамики. Иногда встречаются определения «первое начало термодинамики».
Изменение внутренней энергии системы равно разности между количеством теплоты, подведенным к системе, и работой, совершенной системой:
В этой формуле А – работа, совершенная системой, Q – количество теплоты, переданной системе от внешних тел, а 
– это изменение внутренней энергии.
Первое начало термодинамики было сформулировано задолго до того, как в науке укрепилось понятие молекул, т. е. еще не была известна молекулярно-кинетическая теория. Поэтому первый закон термодинамики часто носит название феноменологического, т. е. такого, который относится к тому или иному явлению.
По большому счету можно сказать, что первый закон термодинамики является расширением и уточнением закона сохранения энергии.
Обсуждение первого закона термодинамики
Теперь настало время перейти к обсуждению этого закона, понять, а как же он может быть полезен для нас, кроме как при решении задач, для этого отдельно поговорим про каждое слагаемое, входящее в формулу: внутренняя энергия, точнее, ее изменение, работа и количество теплоты.
Нечем с внутренней энергии. В дальнейшем, если это особо не оговорено, в качестве термодинамической системы будем рассматривать идеальный газ в каком-либо сосуде. Внутренняя энергия системы зависит только от ее состояния, т. е. от величин давления, объема и температуры:
А изменение внутренней энергии будет определяться только начальным и конечным состоянием и не будет зависеть от того, каким образом система перешла из одного состояния в другое:
Вспоминаем, что в идеальном газе мы пренебрегаем взаимодействием между молекулами, т. е. внутренняя энергия определяется только суммой кинетических энергий каждой из молекул. Давайте вспомним, что средняя кинетическая энергия движения молекул определяется только температурой. Тогда можем смело записать выражение для внутренней энергии:
,
где v – количество вещества, R – универсальная газовая постоянная, T – температура, i – число степеней свободы молекул газа.
Число степеней свободы
Что такое степени свободы? Сначала промоделируем молекулу материальной точкой, и рассмотрим движение такой материальной точки в трехмерном пространстве. Фактически, вопрос формулируется следующим образом: что будет представлять из себя решение главной задачи механики для такого движения? Ответ мы хорошо помним: решение будет представлять собой три уравнения:
Уравнения выражают зависимости от времени t декартовых координат точки (см. рис. 1). Таким образом, для полноценного описания движения материальной точки достаточно трех независимых величин, координат.
Рис. 1. Декартовы координаты точки
А теперь рассмотрим более сложную систему. Рассмотрим два шара, соединенных между собой связью по типу гантели. Будет ли достаточно трех координат для описания движения такой гантели? Оказывается, нет. Почему? Как видим из иллюстрации (см. рис. 2), тело может не только двигаться поступательно вдоль любой из трех осей, но и может совершать два независимых вращательных движения. Естественно, что вращением вдоль оси системы можно пренебречь, поскольку кинетическая энергия такого вращения намного меньше, чем для двух остальных вращательных движений.
Рис. 2. Движение тела (двух жестко связанных точек) в системе координат
Т. е. полноценное описание движения такой системы потребует уже не трех, как в случае с материальной точкой, а пяти координат:
Если же тело состоит из трех или более жестко связанных материальных точек, не лежащих на одной прямой, то, как видим из иллюстрации (см. рис. 3), оно может совершать три независимых поступательных и три независимых вращательных движения.
Рис. 3. Движение тела (двух жестко связанных точек) в системе координат
В этом случае нужно шесть независимых координат:
Независимые координаты, необходимые для описания движения тела, как раз и получили название степеней свободы. Применительно к описанию движения молекул можно сформулировать такое утверждение: если молекула состоит из одного атома, то число ее степеней свободы равно трем, это как в случае с материальной точкой. Двухатомная молекула будет иметь пять степеней свободы, как в случае с гантелей. И наконец, трехатомная молекула и молекула, состоящая более чем из трех атомов, не лежащих на одной прямой, будет иметь шесть степеней свободы. Число степеней свободы мы будем обозначать буквой i. Таким образом, внутренняя энергия идеального газа, зависит от того из какого количества атомов состоят его молекулы. Понятие степеней свободы следует учитывать, когда мы проводим расчет внутренней энергии идеального газа: всегда нужно уточнять, с каким газом мы имеем дело, с одноатомным, трехатомным или более.
Таким образом, мы можем сказать, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры.
Переходим к величине работы. Работа, как и количество теплоты, входящее в левую часть уравнения для первого закона термодинамики, не являются характеристиками состояния системы, а зависят от процесса перехода, это логично. Например, переход системы из состояния один в состояние два (см. рис. 4) может осуществляться разными способами, в частности по пути а или по пути b. При этом изменение внутренней энергии будет одним и тем же для обоих процессов, а вот работа и количество теплоты будут различаться:
Рис.4. Переход системы из стояния 1 в стояние 2
Обозначим через 
работу, выполняемую самой системой, идеальным газом, против внешних сил. Например, если газ расширяется, двигая поршень в сосуде, то этот газ совершает работу против сил тяжести поршня и против сил атмосферного давления, действующих на поршень с внешней стороны (см. рис. 5).
Рис. 5. Действие внешних сил на поршень с идеальным газом
Совершенно очевидно, что в силу третьего закона Ньютона эта работа будет равна работе внешних сил, взятой с обратным знаком:
Тогда уравнение для первого закона термодинамики можно переписать в виде:
Словесная формулировка этого выражения будет звучать так: сообщенная системе теплота идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой механической работы против внешних сил.
Вывод
Теперь видна и практическая польза. Вопрос формулируется следующим образом: можно ли создать такое устройство, которое при передаче ему некоторого количества теплоты превратит это количество теплоты в полезную механическую работу? Ответ известен, такие устройства существуют, и называются они тепловыми двигателями. Фактически, перед нами стоит задача – как максимально эффективно превратить количество теплоты, которое мы передаем такому тепловому двигателю, в механическую работу. Рассмотрим, как решать типичную задачу на применение первого закона термодинамики.
Разбор задачи
Рассмотрим задачу, для которой нам понадобится первый закон термодинамики.
Условие
Над идеальным одноатомным газом совершается процесс, показанный на диаграмме (см. рис.6). Из состояния 
газ переводится в состояние 
. Получить выражение для расчета работы газа, изменения его внутренней энергии и количества теплоты полученный газом.
Рис. 6. Процесс, совершенный над идеальным газом
Обратите внимание: в процессе решения задачи мы получим очень важную формулу, формулу для работы который совершает газ, ею мы будем пользоваться и в дальнейшем при расчетах и когда будем рассматривать первый закон термодинамики в различных изопроцессах. Для начала рассмотрим вспомогательную задачу, будем считать, что давление газа в процессе перехода не меняется, например, газ находился под незакрепленным поршнем постоянной массы (см. рис. 7).
Рис. 7. Изображение поршня с находящимся в нем газом
В это случае работа по определению будет равняться скалярному произведению силы давления газа на перемещение поршня:
Сила и перемещение сонаправлены, значит, скалярное произведение равно произведению модулей, векторов силы и перемещения. Сила давления газа есть произведение давления на площадь поршня:
По рисунку 7 видно, что произведение площади поршня на модуль его перемещения – это разность объема газа до и после перемещения поршня:
В итоге получаем выражение:
Обратите внимание, что данная формула справедлива для изобарного расширения или сжатия газа, т. е. процесса, происходящего при постоянном давлении, в общем случае в таком виде она неприменима. Из графика изобары видно (см. рис. 8), что численное значение работы совпадает с площадью под графиком, показанным на диаграмме (см. рис. 8).
Рис. 8. График изобары
А что делать, если процесс происходит при переменном давлении? В этом случае мы можем воспользоваться стандартным методом, которым пользовались и ранее. Итак, разобьем весь процесс на маленькие участки, в пределах которых давление можно считать приближенно неизменным (см. рис. 9).
Рис. 9. График процесса
Для каждого элементарного участка, формула для работы вполне применима. Затем следует сложить отдельные элементарные работы, и в итоге придем к заключению, что в случае переменного давления работа по-прежнему будет численно равна площади под графиком на диаграмме давление – объем (см. рис. 10).
Рис. 10. Диаграмма давление – объем
Теперь переходим к расчетам внутренней энергии и количества теплоты. Итак, внутренняя энергия, как мы знаем, зависит только от состояния и не зависит от процесса, поэтому изменение ее будет равно:
Тройка соответствует количеству степеней свободы одноатомного газа, однако нам не известно значение температуры в начальном и конечном состояниях. Однако это не проблема, ведь мы знаем, как связаны между собой температура, давление и объем, в случае идеального газа это уравнение Менделеева – Клапейрона. Запишем его для второго и первого состояния и получим изменение внутренней энергии. Зная начальные состояния объема и давления, мы легко находим, что:
Осталось получить количество теплоты. Вот здесь мы как раз и воспользуемся первым законом термодинамики: количество теплоты, полученное газом, пошло на изменение его внутренней энергии и на совершение работы. И внутреннюю энергию, и работу мы уже посчитали, тогда для количества теплоты можно записать:
В принципе, задача решена, да, мы не получили конечное числовое значение, но это не страшно, так как более важный результат – это формула для работы газа, напомним, в изобарном процессе мы можем ее посчитать так:
А в случае если процесс не являлся изобарным, то есть давление менялось, мы можем находить работу как площадь под графиком в координатах рV.
Кроме того, при решении задачи мы воспользовались первым законом термодинамики, т. е. законом, связывающим количество теплоты, которое газ получает, изменение его внутренней энергии и работу этого газа.
Использованные источники:
- https://www.youtube.com/watch?v=OtbEpGuoyno
- http://www.youtube.com/watch?v=T0MaMP3cqvI
- http://www.youtube.com/watch?v=K93KeDsv2Co
- http://www.youtube.com/watch?v=gwys7rQVC6M
Файлы
Нет дополнительных материалов для этого занятия.