Дифракция света.

Дифракционная решётка. Видеолекция.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Дифракционная решётка. Видеолекция.

Комментарии преподавателя

Геометрическая оптика

До тех пор, пока мы находились в рамках геометрической оптики, наши вопросы сводились к следующему: есть некоторый источник света или система источников, есть прозрачная и однородная среда, в которой присутствуют какие-то предметы, а также могут присутствовать границы раздела прозрачных сред. Как в этом случае описать формы освещенных и неосвещенных областей, возникающих на поверхностях тех или иных предметов? Проще говоря: попадает или не попадает свет в какие-то области пространства?

Для решения таких задач нам было достаточно всего три закона. Прямолинейного распространения, отражения и преломления. Но затем мы столкнулись с рядом ситуаций, в которых данные законы нам уже не помогали получить ответ на вопрос задачи. Тогда пришлось прибегнуть к представлениям о волновой природе света, и мы дополнили три указанных закона принципом Гюйгенса, который позволял строить волновые поверхности совершенно в различных случаях.

Сопоставим принцип Гюйгенса с результатами интерференционных опытов. С одной стороны, мы говорили, что для наблюдения интерференционной картины необходимо, чтобы интерферирующие волны и источники этих волн, были когерентными. С другой стороны, принцип Гюйгенса говорит, что любая точка волнового фронта является источником вторичных волн. Совершенно очевидно, что такие источники вторичных волн должны быть когерентными, поскольку они являются частью одного и того же волнового фронта. А это значит, что излученные вторичные волны должны интерферировать между собой.

Идея об интерференции вторичных волн была высказана Френелем (Рис. 2) в 1819 году. В ответ на это Симеон Пуассон (Рис. 1) обратил внимание Френеля на то, что если следовать такой логике, то можно прийти к абсурдным выводам.

Рис. 1. Симеон Дени Пуассон (1781–1840)

Рис. 2. Жан Огюстен Френель (1788–1827)

Например, если направить свет на непрозрачный диск, то в результате интерференции вторичных волн, излучаемых вблизи границ диска, в центре геометрической тени, может образоваться светлое пятно (Рис. 3).

Рис. 3. Опыт Араго

Действительно, такая ситуация полностью противоречит нашему жизненному опыту. Однако впоследствии Франсуа Араго проделал подобный опыт и получил в центре тени светлое пятно. С тех пор это явление называют пятно Пуассона.

Принцип Гюйгенса – Френеля

Волновая теория света окончательно закрепилась. Как следствие, Френель несколько переформулировал принцип Гюйгенса. И отныне мы будем говорить о принципе Гюйгенса – Френеля, который гласит:

Каждая точка волнового фронта есть источник вторичных сферических волн, а результирующая световая волна в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих вторичных волн.

Отныне мы можем не просто рисовать волновые поверхности, как огибающие все вторичные волны, но и решать те задачи, о которых мы говорили в геометрической оптике. Как вы помните из предыдущих тем, дифракция – это явление, которое присуще любому волновому процессу, заключается оно в том, что волны отклоняются от прямолинейного распространения и огибают препятствия, встречающиеся у них на пути. Световые волны не являются исключением (пятно Пуассона).

Опыт Юнга

Еще одним классическим опытом, в котором можно наблюдать дифракцию света, является опыт Юнга. В непрозрачной ширме булавкой проколото два отверстия , на небольшом расстоянии друг от друга. Эти отверстия освещаются узким световым пучком, прошедшим через малое отверстие , в другой ширме. Интерферируют только когерентные волны. Возникшая в соответствии с принципом Гюйгенса – Френеля волна, которая прошла через отверстие , возбуждала в отверстиях , когерентные вторичные волны. Из этих отверстий выходили два световых конуса, частично перекрывавшиеся в области между щелью и экраном. В результате интерференции волн на экране появлялись чередующиеся светлые и темные полосы, которые исчезали при закрытии отверстия или (Рис. 4).

Рис. 4. Опыт Юнга

Мы будем рассматривать дифракцию на более простых примерах, в которых речь будет идти о волнах с плоскими волновыми фронтами. Такой тип дифракции называется дифракцией Фраунгофера, в отличие от дифракции Френеля, где речь идет о сферических волновых фронтах.

Падение плоской монохроматической волны на щель

Рассмотрим падение плоской монохроматической волны на узкую щель. Пусть свет падает перпендикулярно плоскости, в которой вырезана щель. Пусть направление перпендикулярно плоскости рисунка щель имеет бесконечные размеры, как и волновой фронт падающей волны. Ясно, что через щель пройдет только участок исходного волнового фронта и все точки волнового участка будут излучать вторичные волны в различных направлениях. Таким образом, свет после прохождения щели будет распространяться не только в первоначальном направлении, но и под всеми углами от 0 до 90 градусов к этому направлению (Рис. 5).

Рис. 5. Падение плоской монохроматической волны на щель

Рассмотрим два луча, соответствующие волнам, излученным двумя точками исходного волнового фронта, под углом к первоначальному направлению (Рис. 6).

Рис. 6. Падение плоской монохроматической волны на щель

Видно, что оба луча проходят до пересечения с экраном разные пути. А мы знаем, что волны, соответствующие этим двум лучам, будут иметь некоторую разность фазы. В зависимости от этой разности в области экрана, где эти волны падают на него, будет либо светлая, либо темная полоса. Как итог, на экране будет образовываться картина чередующихся светлых и темных полос. В центре, то есть напротив середины щели, будет самая яркая полоса, называемая центральной, яркость остальных резко уменьшается по мере их удаления от нее.

Если к имеющейся узкой щели добавить такую же, расположенную на очень малом расстоянии от первой, то есть создать систему из опыта Юнга, то благодаря дополнительной интерференции волн от двух щелей светлые полосы расщепятся на ряд более узких полос. Особенно это будет заметно по центральной, яркой, полосе. Если добавлять еще щели, то расщепленные полосы станут еще более ярко выраженными (Рис. 7).

Рис. 7. Падение волны на множественные узкие щели

Таким способом мы приходим к идее устройства очень важного физического прибора, так называемой дифракционной решетки.

Дифракционная решетка

Теория дифракционной решетки

Если ширина прозрачных щелей равна , а непрозрачных – , то величина их суммы называется периодом дифракционной решетки (). Обычно период дифракционной решетки – порядка 10 мкм. Пусть на решетку падает плоская монохроматическая волна с длиной , вторичные источники, расположенные в щелях, создают световые волны, распространяющиеся по всем направлениям. Рассмотрим условия, при которых идущие от щелей волны усиливают друг друга. Рассмотрим волны, распространяющиеся под углом . Разность хода от краев щели равна длине отрезка , если на этом отрезке укладывается целое число волн, то волны от всех щелей, складываясь, будут усиливаться. Из треугольника можно найти длину катета . Он равен ,. Соответственно, максимум будет наблюдаться под углом , как дано в условии (Рис. 8).

Рис. 8. Дифракционная решетка

Период решетки, умноженный на синус угла, будет равен целому числу длин волн. За решеткой помещают собирающую линзу, а за ней экран на фокусном расстоянии от линзы. Линза фокусирует лучи, идущие параллельно, в одну точку, в этой точке происходит сложение волн и их взаимное усиление. Углы, удовлетворяющие условию максимума, определяют положение главных максимумов на экране. Так как положение максимумов зависит от длины волны, то решетка разлагает белый свет в спектр (Рис. 9).

Рис. 9. Разложение света на спектр

При этом чем больше длинна волны, тем дальше от центрального максимума располагается тот или иной максимум, соответствующий каждой длине волны. При этом каждому значению соответствует свой порядок спектра. Между максимумами расположены минимумы освещенности. Чем больше число щелей, тем более резко очерчены максимумы и тем более широкими минимумами они разделены.

Световая энергия, падающая на решетку, перераспределяется так, что большая часть приходится на максимумы, а в области минимумов попадает совершенно незначительная доля энергии.

С помощью дифракционной решетки можно производить довольно точные измерения значений длин волн. Для этого достаточно научиться измерять углы, соответствующие тем или иным максимумам освещенности на экране, в этом и состоит суть спектрального анализа.

Спектральный анализ – это анализ состава, падающего на решетку света.

Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа очень узких щелей, разделенных непрозрачным промежутками. Хорошую решетку изготавливают с помощью специальной делительной машины, наносящей на стеклянную пластину параллельные штрихи. Число штрихов может доходить до нескольких тысяч на 1 мм. Общее число штрихов превышает сто тысяч.

Просты в изготовлении желатиновые отпечатки с такой решетки, зажатые между двумя стеклянными пластинами. Наилучшими качествами обладают так называемые отражательные решетки (Рис. 10).

Рис. 10. Отражательные дифракционные решетки

Они представляют собой чередующиеся участки отражающие свет и рассевающие его. Рассевающие свет лучи наносятся резцом на отшлифованную металлическую пластину.

Основное применение дифракционных решеток – это спектральный анализ. Благодаря знаниям о дифракции мы можем делать выводы о границах применимости тех или иных оптических приборов. Рассмотрим это на примере линзы.

Граница применимости линзы

Способность линзы создавать различимые изображения двух очень близко расположенных друг к другу точечных предметов называется разрешающей способностью линзы или разрешающей силой линзы.

Чем ближе находятся друг к другу два точечных изображения, при этом оставаясь различимыми, тем выше разрешающая способность линзы.

Вам уже знакомо явление аберрации – это явление портит качество изображения, создаваемое линзой. Но кроме этого явления картину так же портит уже описанная нами дифракция.

У линзы есть края, соответственно, линза действует подобно щели, рассмотренной в предыдущем примере. На самом деле, когда мы создаем с помощью линзы изображение какого-либо точечного объекта, создается дифракционная картина, и это изображение оказывается размытым, даже если аберрации полностью устранены.

Когда два точечных объекта находятся очень близко друг от друга, дифракционные картины их изображений перекрываются (Рис. 11).

Рис. 11. Перекрытие дифракционных картин

Если объекты сблизятся еще больше, то наступает момент, когда уже нельзя определить, видите ли вы два перекрывающихся изображения или единственное изображение.

Критерий Релея

Критерий Релея: два изображения находятся на пороге разрешения, когда центр дифракционного диска одного из них совпадает с первым минимумом на дифракционной картине другого.

Расчеты показывают, что два объекта можно считать значимыми, если угловое расстояние между ними равно 1,22, умноженное на длину волны и деленное на диаметр линзы.

(дифракционный предел)

Этот предел обусловлен дифракцией и наложен на разрешающую способность линзы волновой природой света.

Решение задач на тему «Дифракционная решетка»

Задача № 1

Дано: спектр получен с помощью дифракционной решетки с периодом 22 мкм, дифракционный максимум второго порядка находится на расстоянии 5 см от центрального максимума и на расстоянии 1 м от решетки. Определите длину световой волны.

Решение: обозначим расстояние до решетки , луч, соответствующий максимуму второго порядка, отклоняется после прохождения через решетку на некоторый угол . Точка падения этого луча на экран отстоит от точки пересечения перпендикуляра на некоторое расстояние l (Рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче № 1

Для того чтобы определить длину волны, нам необходимо воспользоваться углом максимума для второго порядка.

Осталось определить синус угла, из рисунка видно, что . Подставим значение и получим, что угол стремится к 0, а мы знаем, что для малых углов выполняется условие, что синус приближенно равен тангенсу. Тогда получаем рабочую формулу: